福克-普朗克方程

存在拖曳和扩散项时，福克-普朗克方程的一个一维解。初始状态为远离零速度的δ函数，随机冲击使其分布逐渐变宽

福克-普朗克方程（Fokker–Planck equation）描述粒子在位能场中受到随机力后，随时间演化的位置或是速度的分布函数 。此方程式以荷兰物理学家阿德里安·福克与马克斯·普朗克的姓氏来命名。

一维 x方向上,福克-普朗克方程有两个参数，一是拖曳参数 D₁(x,t)，另一是扩散 D₂(x,t)

${\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D_{1}(x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D_{2}(x,t)f(x,t)\right].$

在$N$ 维空间中的福克-普朗克方程是

${\frac {\partial f}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right],$ $x_{i}$ 是第$i$维度的位置，此时 $D^{1}$为拖曳向量，$D^{2}$为扩散张量。

其他

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\nabla \cdot (P\nabla V)+D\nabla ^{2}P$

若V=0，则福克-普朗克方程成为布朗运动

${\frac {\partial P}{\partial t}}=D\nabla ^{2}P$

与随机方程式的关系

福克-普朗克方程可以用来计算随机过程里随机微分方程式中分布函数的解。

一个受随机力的古典粒子，经由朗之万方程式可以得到福克-普朗克方程。另外再借由福克-普朗克方程也可推导薛丁格方程式。

相关条目

• 马克斯·普朗克和阿德里安·福克
• 朗之万方程式（Langevin equation）
• Ornstein–Uhlenbeck过程
• 泛函积分
• 薛定谔方程，威克转动的福克-普朗克方程

延伸阅读

• Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
• David Tong. Kinetic Theory. Ch. 3. https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Scott. Applied Stochastic Processes.

外部链接

• 福克–普朗克方程式 （页面存档备份，存于互联网档案馆） on the Earliest known uses of some of the words of mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆）