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阿诺索夫微分同胚

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在数学中,尤其是动力系统几何拓扑中,流形M上的阿诺索夫映射(Anosov map)是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。

阿诺索夫微分同胚(Anosov diffeomorphism)由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入,他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

概述

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有三个相互联系但又有区别的定义:

  • 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构,则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射,以及阿诺尔德猫映射
  • 若这个映射还是一个微分同胚,则称为阿诺索夫微分同胚
  • 若流形上的一个把切丛分成三个不变子丛,其中一个子丛呈指数衰减,一个指数增大,第三个不增大也不减小,则这个流称为阿诺索夫流

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的,并且组成了全体映射(流)的开子集(拓扑)。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚;例如,球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面:上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚,这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题,截至2012年仍然没有解决。

另外,也不清楚是否每个且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把换成的条件下是成立的。

黎曼曲面(的切丛)上的阿诺索夫流

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负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义,即上半平面与福克斯群的商。设为上半平面,为福克斯群,为负曲率黎曼曲面,为流形M上的单位向量的切丛,的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛主丛

李向量场

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注意同构于李群。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。李代数,由以下矩阵表示

指数映射

定义了流形上的右不变流,而与此类似。定义,这些流定义了P和Q上的向量场。

阿诺索夫流

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是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的,可以得到这些场在下是左不变的。换句话说,空间分成了三个一维空间,或子丛,每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大,另一个不变,第三个呈指数缩小。

精确地说,切丛可以写成直和

这些空间在测地流的作用下不变;即,在群元素的作用下不变。

要比较不同点q处的向量的长度,需要有度量。上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量,进而得到Q上的黎曼度量。向量的长度在的作用下指数增大。向量的长度在的作用下指数衰减。中的向量不变。测地流是不变的

但另外两个分别是衰减和增大的:

其中中的切向量由曲线处的导数给出。

阿诺索夫流的几何解释

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当作用在上半平面的点时,对应了上半平面的一条过点的测地线。这个作用就是在上半平面的标准莫比乌斯变换,所以

一般的测地线

式中是实数,且。曲线称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。

另见

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参考资料

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  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system页面存档备份,存于互联网档案馆)", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
  • This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
  • Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.