马德隆常数

NaCl的结构

在一个晶体内，其中一个离子的总电势能，可表示为它与距离最近的另一个离子的电势能的$M$倍，$E=ME_{0}$，其中$E_{0}$为两个离子的系统的电势能，$E_{0}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}r_{0}}}$。$M$称为马德隆常数（Madelung constant），其值与晶体结构有关。

在固体离子化合物内，正离子和负离子互相吸引，将离子分开需要能量。

晶体	结构	配位	M
CsCl	简单立方	8:8	1.763
NaCl	面心立方	6:6	1.748
纤锌矿 (ZnS, Wurtzite)		4:4	1.641
闪锌矿 (ZnS, Zinc blende)		4:4	1.638
萤石 (CaF2, Florite)		8:4	2.520
金红石 (TiO2, Rutile)		6:3	2.408

计算

对于面心立方结构（如NaCl），M的值看来可用下面的级数计算：

$M=\sum _{i,j,k=-\infty }^{\infty }\prime {{(-1)^{i+j+k}} \over {(i^{2}+j^{2}+k^{2})^{1/2}}}$ (1),

撇号表示$i=j=k=0$的一项不在计算范围。此级数为条件收敛，故求和顺序需特别注明。常见的求和顺序有两种：

以类球形的晶体来逼近：

$\lim _{N\to \infty }\sum _{i^{2}+j^{2}+k^{2}<N}\prime {{(-1)^{i+j+k}} \over {(i^{2}+j^{2}+k^{2})^{1/2}}}$, (2)

以立方形的晶体来逼近：

$\lim _{n\to \infty }\sum _{-n<i,j,k<n}\prime {{(-1)^{i+j+k}} \over {(i^{2}+j^{2}+k^{2})^{1/2}}}$, (3)

然而(2)的求和顺序是发散的，(3)才能给出正确的结果。

参考

• https://web.archive.org/web/20080607070543/http://www.chemistry.ohio-state.edu/~woodward/ch754/ionicbonding.htm