高等数学
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高等数学（英语：Further Mathematics）是比初等数学更高深的数学，一般是指高中的数学组学生，以及大学非数学专业的本科生所修习的数学。
历史
[编辑]微积分是17世纪末由英国科学家牛顿（I. Newton，1643—1727）和德国科学家莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）独立发明。数学界把微积分发明之前的数学称为初等数学，而把微积分及其后的发展例如微分方程[注 1]称为高等数学。 现代高等数学教材的主要内容包括：极限理论、一元微积分学、多元微积分学、空间解析几何与向量代数、级数理论、常微分方程初步，各类课本略有差异。
中学里较深入的代数、几何以及集合论初步、逻辑初步统称为中等数学的，将其作为小学、初中的初等数学与本科阶段的高等数学之间的过渡。
高等数学是高等学校理工科本科有关专业学生的一门必修的重要基础课。通过这门课程的学习，使学生获得向量代数与空间解析几何、微积分的基本知识，必要的基础理论和常用的运算方法，并注意培养学生的运算能力和初步的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力，从而使学生获得解决实际问题能力的初步训练，为学习后继课程奠定必要的数学基础。[来源请求]
中国大陆
[编辑]理工科非数学专业的各类专业的学生，学的深一些，课本常称“高等数学”，多数院校使用课本为同济大学数学系所编的《高等数学》；文史科各类专业的学生，学得浅一些，课本常称“微积分”。理工科的不同专业，文史科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学，可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有：线性代数，概率论与数理统计。
香港
[编辑]在以往的七年制中学中，数学组的学生会在中四及中五级学习到附加数学科，在中六及中七级学习纯粹数学科，涵盖较深的三角学、极限、数列、级数、微积分、复数、矩阵、三维空间向量、圆锥曲线、数学归纳法、不等式、基础的逻辑和集合论等，并需学习书写证明。部分学生在中六及中七级还会学习应用数学科，包括利用向量、微积分和微分方程设立联立方程，处理复杂的受力分析问题，以及概率、统计、数值方法、微分方程；中六及中七级的非数学组学生，也有部分会学习数学与统计学科，学习基础微积分与统计。在三三四高中教育改革后，中学高等数学内容被大量删减，只保留代数、微积分、统计，成为香港中学文凭考试数学科延伸部分。
大学理科、工科、商科和社会科学所要学习的数学和统计知识，多数由各院系自行设计和教授。
数学专业
[编辑]数学专业的本科生，须学习数学各主要方向的理论，学习许多抽象数学概念的定义，以及与这些概念有关的定理的陈述与证明，要求的范围和深度比其他专业的“高等数学”要高得多：分析方面，除了一元和多元微积分，还有数学分析、实分析、复分析、泛函分析等；代数方面有在任意域上的线性代数、抽象代数等；概率方面以测度论为基础，与实分析关系密切；应用数学方面有常微分方程、偏微分方程、数值分析等；并且有“高等数学”不会触及到的很多方向，如几何和拓扑方面，有曲线与曲面的微分几何、点集拓扑等；其他方面还有初等数论、图论、组合数学、数理逻辑等。研究生程度则有更多20世纪以后所发展出的分支方向，一些较大的方向有代数几何、黎曼几何、代数拓扑、几何拓扑、表示论、解析数论、代数数论、动力系统理论、随机过程等。
经典文献
[编辑]- 《微积分学教程》格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
- 《数学分析习题集》鲍里斯·帕夫罗维奇·吉米多维奇著
- 《微积分和数学分析引论》Richard Courant（柯朗）著
- 《高等数学教程》斯米尔诺夫著 1-5卷 高等教育出版社
- 《古今数学思想》M.克莱因著 1-4册 上海科学技术出版社
- 《高等数学例题与习题集.一,一元微积分》И.И.利亚什科等编著
- 《高等数学例题与习题集.二,多元微积分》И.И.利亚什科等编著
- 《高等数学引论》(共四卷) 华罗庚著 科学出版社
- 《微积分五讲》龚昇著
- 《重温微积分》齐民友著
参考资料
[编辑]- 《数学辞海（第一卷）》山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社
- 《高等数学》第6版 上下册 同济大学应用数学系 高等数学出版社 ISBN 978-7-04-021277-8
- 《高等数学》吴赣昌著 高等教育出版社
- （俄文）《高等数学教程》斯米尔诺夫著 1-5卷 高等教育出版社
- （英文）《古今数学思想》M.克莱因著 1-4册 上海科学技术出版社
- （中文）《高等数学》同济大学应用数学系 第6版 上下册 高等数学出版社 ISBN 978-7-04-021277-8
注释
[编辑]- ^ 包括常微分方程及方程组，偏微分方程及方程组，变分法等