三重積

三重積，又稱混合積，是三個向量相乘的結果。向量空間中，有兩種方法將三個向量相乘，得到三重積，分別稱作標量三重積和向量三重積。

標量三重積

定義

標量三重積是三個向量中的一個和另兩個向量的叉積相乘得到點積，其結果是個贗標量。

設 $\mathbf {a}$ 、 $\mathbf {b}$ 、 $\mathbf {c}$ 為三個向量，則標量三重積的定義為

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

。

特性

設 $\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$ 、 $\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}$ 、 $\mathbf {c} =c_{1}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +c_{3}\mathbf {k}$ ，則有

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}

。

證明

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

${\begin{aligned}&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\\&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot (\mathbf {i} {\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}})\\&=a_{1}{\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

利用行列式的特性，可知順序置換向量的位置不影響標量三重積的值：

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )

任意對換兩個向量的位置，標量三重積與原來相差一個負號：

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )

若任意兩個向量相等，則標量三重積等於零：

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {0} =0

其他記號

有時候，純量三重積會以括號表示：

[\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}

幾何意義

幾何上，由三個向量定義的平行六面體，其體積等於三個標量標量三重積的絕對值：

V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=\left|{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}\right|

證明

以 $\mathbf {b}$ 和 $\mathbf {c}$ 來表示底面的邊，則根據叉積的定義，底面的面積 $A$ 為

A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |

，

其中 $\theta$ 是 $\mathbf {b}$ 與 $\mathbf {c}$ 之間的角，而高 $h$ 為

h=|\mathbf {a} |\cos \alpha

，

其中 $\alpha$ 是 $\mathbf {a}$ 與 $h$ 之間的角。

從圖中我們可以看到， $\alpha$ 的大小限定為 $0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }$ 。而向量 $\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 與 $\mathbf {a}$ 之間的角 $\phi$ 則有可能大於90°（ $0^{\circ }\leq \phi <180^{\circ }$ ）。也就是說，由於 $\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 與 $h$ 平行， $\phi$ 的值要麼等於 $\alpha$ ，要麼等於 $180^{\circ }-\alpha$ 。因此