中值定理

在數學分析中，均值定理（英語：mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。^{[註 1]}

更仔細點講，假設函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 連續且在開區間 $(a,b)$ 可微，則存在一點 $c,\,a<c<b$ ，使得

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

中值定理包括微分中值定理和積分中值定理。

微分中值定理

微分中值定理分為羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，內容粗略的說是指平面上一段固定端點的可微曲線，兩端點之中必然有一點，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。

當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。

羅爾中值定理

如果函數 $f(x)$ 滿足

在閉區間 $[a,b]$ 上連續；
在開區間 $(a,b)$ 內可導；
在區間端點處的函數值相等，即 $f(a)=f(b)$ ，

那麼在 $(a,b)$ 內至少有一點 $\xi (a<\xi <b)$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

這個定理稱為羅爾定理。

拉格朗日中值定理（均值定理）

令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 為閉區間 $[a,b]$ 上的一個連續函數，且在開區間 $(a,b)$ 內可導，其中 $a<b$ 。那麼在 $(a,b)$ 上存在某個 $c$ 使得

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

此定理稱為拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是羅爾中值定理的更一般的形式，同時也是柯西中值定理的特殊情形。

這個定理在可以稍微推廣一點。只需假設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 連續，且在開區間 $(a,b)$ 內對任意一點 $x$ ，極限

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

存在，為一個有限數字或者等於+∞或−∞.如果有限，則極限等於 $f'(x)$ 。這版本定理應用的一個例子是函數 $x\to x^{1/3}$ ，實值三次方根函數，其導數在原點趨於無窮。

注意若一個可微函數的值域是複數而不是實數，則上面這定理就未必正確。例如，對實數 $x$ 定義 $f(x)=e^{ix}$ 。那麼

$f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)$

因 $|f'(x)|=1\neq 0$ 時， $c$ 為開區間 $(0,2\pi )$ 中任意一點。

柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其敘述為：如果函數 $f$ 和 $g$ 都在閉區間 $[a,b]$ 上連續，且在開區間 $(a,b)$ 上可導，那麼存在某個 $c\in (a,b)$ ，使得

$(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,$

當然，如果 $g(a)\neq g(b)$ 且 $g(c)\neq 0$ ，則可表示成：

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

在幾何上，這表示曲線 ${\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}$ 上存在一點其切線平行於由兩點（ $f(a),g(a)$ ）和（ $f(b),g(b)$ ）所連接的直線。但柯西定理不能表明在任何情況下這種切線都存在，因為可能存在一些 $c$ 值使 $f(c)=g(c)=0$ ，所以在這些點曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

$t\mapsto (t^{3},1-t^{2})$

在區間 $[-1,1]$ 上，曲線由 $(-1,0)$ 到 $\left(1,0\right)$ ，卻並無一個水平切線，但在 $t=0$ 處有一個駐點（實際上是一個尖點）。

柯西中值定理可以用來證明洛必達法則。拉格朗日中值定理是柯西中值定理當 $g(t)=t$ 時的特殊情況。

積分中值定理

積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在ξ的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等（嚴格表述在下面）。

積分第一中值定理

設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 為一連續函數， $g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 要求 $g(x)$ 是可積函數且在積分區間不變號，那麼存在一點 $\xi \in (a,b)$ 使得

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ 。

證明

在不失去一般性的條件下，設對所有 $x$ ，有 $g(x)\geq 0$ ；因為 $f$ 是閉區間上的連續函數， $f$ 取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。於是 $mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$

對不等式求積分，我們有 $m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ 。若 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx=0$ ，則 $\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0$ 。 $\xi$ 可取 $[a,b]$ 上任一點。

若不等於零那麼 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx>0$ ， $m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M$ 因為 $m\leq f(x)\leq M$ 是連續函數，根據介值定理，則必存在一點 $\xi \in [a,b]$ ，使得 $f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}$

$g(x)<0$ 的情況按同樣方法證明。

推論（拉格朗日中值定理的積分形式）

在上式中令 $g(x)=1$ ，則可得出：

設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 為一連續函數，則∃ $\xi \in [a,b]$ ，使

$f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}$

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

設 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可導， $f(x)=F^{\prime }(x)$ ，則∃ $\xi \in [a,b]$ ，使

$f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}$

積分第二中值定理

積分第二中值定理與積分第一中值定理相互獨立，卻又是更精細的積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。

內容

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積且 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上單調，則存在 $[a,b]$ 上的點ξ使 $\int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}$

退化態的幾何意義

令 $g(x)=1$ ，則原公式可化為： $\int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )$ 進而導出： $\int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}$

此時易得其幾何意義為：能找到ξ∈[a,b]，使得S[紅]+S[藍]=S[陰影]，即S[I]=S[II]

應用

關於積分中值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號，或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。

注釋

^ 這個定理有兩種翻譯：均值定理跟中值定理，與數學分析中另一重要定理：中間值定理（intermediate value theorem）容易混淆

參見

[1] 這個定理有兩種翻譯：均值定理跟中值定理，與數學分析中另一重要定理：中間值定理（intermediate value theorem）容易混淆

[註 1]