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中線

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圖中 ABC和中線AD

中線重線三角形中從某邊的中點連向對角的頂點的線段。三角形的三條中線總是相交於同一點,這個點稱為三角形的重心

性質1

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任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外,任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

證明

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考慮三角形ABC。設D的中點,E的中點,F的中點,O為重心。

根據定義,,因此,其中表示三角形ABC面積

我們有:

因此,

由於,所以。 同理,也可以證明

性質2

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ABC中,連接角A的中線記為,連接角B的中線記為,連接角C的中線記為,它們長度的公式為:

證明

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ABD中,
餘弦定理
以a,b,c表示
&
把以上兩等式代入原式,

同理,可證得其他二式

Q.E.D.

參見

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