充分必要條件

關於與「充分必要條件」標題相近或相同的條目，請見「因果關係」。

處於紫色區域是處於A區域的充分條件，但並非必要條件；處於A區域是處於紫色區域的必要條件，但並非充分條件；處於A和B區域是處於紫色區域的充分必要條件。

充分必要條件，簡稱充要條件，是邏輯學中用於描述兩個陳述之間的條件關係或包含關係的術語。

在邏輯學中：

• 當命題「若P則Q」為真時，P稱為Q的充分條件，Q稱為P的必要條件。

因此：

• 當命題「若P則Q」與「若Q則P」皆為真時，P是Q的充分必要條件，同時，Q也是P的充分必要條件。
• 當命題「若P則Q」為真，而「若Q則P」為假時，我們稱P是Q的充分不必要條件，Q是P的必要不充分條件，反之亦然。

必要條件

P是Q的必要條件，代表「如果P是假，則Q是假」。

以邏輯符號表示：

$\lnot P\rightarrow \lnot Q$

通過否定後件，得出「如果Q是真，則P是真」。

$Q\rightarrow P$

• 例子1：對於大於2的整數，奇數是成為質數的必要條件。如果一個整數大於2且是質數，它必定是奇數。
• 例子2：年滿30歲是成為美國參議員的必要條件。如果他是參議員，他必定年滿30歲。

充分條件

P是Q的充分條件，代表「如果P是真，則Q是真」或「如果Q是假，則P是假」。

以邏輯符號表示：

$P\rightarrow Q$

• 例子1：一個數字能被4整除，是成為偶數的充分（但不必要）條件。能被2整除，則是充分及必要條件。

必要條件及充分條件

P是Q的充分及必要條件，代表「若且唯若P是真，則Q是真」。

以邏輯符號表示：

$P\leftrightarrow Q$

留意 $\lnot P\rightarrow \lnot Q$ 可以推出 $Q\rightarrow P$。

$(\lnot P\rightarrow \lnot Q)\land (P\rightarrow Q)$

$(Q\rightarrow P)\land (P\rightarrow Q)$

$P\leftrightarrow Q$

舉例

1.若P表「人類生存」，Q表「人類呼吸」

$\lnot Q\rightarrow \lnot P$

$P\rightarrow Q$

此時呼吸是生存的必要條件，生存是呼吸的充分條件，因為活着的人一定要呼吸，

$Q\rightarrow P$（錯誤）

然而呼吸並非生存的充分條件，生存並非呼吸的必要條件，因為只會呼吸並不足以讓人生存下去，

故P為Q的充分不必要條件，Q是P的必要不充分條件。

2.若P表「三角形三邊長相等」，Q表「三角形三內角相等」

$P\leftrightarrow Q$

此時這2個條件互為「充分（且）必要條件」。

3.若P表「正整數x是完全平方數」，Q表「正整數x的正因數個數是奇數」

$P\leftrightarrow Q$

此時這2個條件互為「充分（且）必要條件」。

參見

• 前件
• 後件
• 實質條件
• 當且僅當

有效論證

• 肯定前件
• 否定後件

無效論證

• 否定前件
• 肯定後件
• 謬誤

外部鏈接

• 西門菲莎大學：概念實例 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）