克拉梅爾猜想

數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉爾德·克拉梅爾在1937年提出的關於質數間隙的猜想。該猜想是說：

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1$，

這裡$p_{n}$代表第$n$個素數。該猜想到現在仍未證出或被否證。

關於質數間隙的條件結果

克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素數間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})$。

目前這方面最好的無條件結果是

$p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})$

而這點由R·C·貝克（R. C. Baker）、格林·哈曼和平茨·亞諾什三人證出。

另一方面，E·韋斯欽蒂烏斯（E. Westzynthius）於1931年證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .$

羅伯特·亞歷山大·蘭金改進了他的結果，並證明道

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0$

艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由凱文·福特、本·格林、謝爾蓋·科尼亞金和陶哲軒四人組。以及詹姆斯·梅納德分別證出。這兩組人馬在該年稍晚將該結果以$\log \log \log p_{n}$因子進行改進。

探索性論證

克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的機率模型之上的，在其中一個大小為x的數是質數的機率是$1/\log {x}$。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。

根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一：

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1$

然而，安德魯·格蘭維爾指出，根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向$c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots$（A125313），其中$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亞諾什則認為該比值的上極限可能發散至無限；

類似地，倫納德·阿德曼和凱文·麥柯利（Kevin McCurley）寫道：

「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數$c>2$而言，總存在一個常數，使得$x$和$x+d(\log x)^{c}$有一個質數。」

類似地，羅賓·維瑟（Robin Visser）寫道：

「事實上，由於格蘭維爾的工作之故，現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」

相關猜想和探索

質數間隙函數

丹尼爾·尚克斯猜想表示對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立： $G(x)\sim \log ^{2}x$

J·H·卡德韋爾（J.H. Cadwell）則提出下列何質數間隙有關的公式： $G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x$ 該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。

馬雷克·沃爾夫（Marek Wolf）則猜想在以素數計數函數$\pi (x)$表示的狀況下，最大質數間隙$G(x)$如下：

$G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),$

其中$c=\log(C_{2})=0.2778769...$和$C_{2}=1.3203236...$是孿生質數常數的兩倍，可見A005597和A114907的相關內容。再一次地，該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：

$G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.$

托馬斯·雷·奈斯利（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：

$R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}$

他寫道「即使對於已知最大的質數間隙，$R$的值都維持在1.13左右」。

參見

• 質數定理
• 勒讓德猜想和安德里卡猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
• 菲魯茲巴赫特猜想
• 邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。

參考資料

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Pintz, János. Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes. Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 2007, 37 (2): 361–376 [2024-01-09]. ISSN 0208-6573. MR 2363833. Zbl 1226.11096. doi:10.7169/facm/1229619660 . （原始內容存檔於2020-06-26）. 
• Soundararajan, K. The distribution of prime numbers. Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (編). Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237. Dordrecht: Springer-Verlag. 2007: 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Cramér Conjecture. MathWorld. 
• 埃里克·韋斯坦因. Cramér-Granville Conjecture. MathWorld.