馮·諾伊曼基數指派

馮·諾伊曼基數指派是使用序數的基數指派。對於良序集合 U，我們定義它的基數為等勢(equinumerous)於 U 的最小序數。更加精確的，

|U|=\mathrm {card} (U)=\inf\{\alpha \in ON\ |\ \alpha =_{c}U\}

，

當中：

$A\leq _{c}B\iff (\exists f)(f:A\to B\,$ 是單射 $)\,$
$A\leq _{c}B$ 和 $B\leq _{c}A$ 都為真 $\iff A=_{c}B\$ 為真
$ON$ 是序數的類。

這個序數也叫做這個基數的初始序數。使用替代公理，U 是良序的和序數的類是良序的的事實保證這樣一個序數存在並且是唯一的。通過完全選擇公理，所有集合都是可良序的，所以所有集合都有一個基數；我們使用從序數繼承來的次序排序基數。容易發現這與通過 $\leq _{c}$ 的排序相符。這是基數的良序排序。

基數的初始序數

每個序數都有一個關聯的基數，它的勢，通過簡單的忘記這個次序而獲得的。任何良序集合都有這個序數作為它的有同樣勢的序類型。有給定基數作為它的勢的最小的序數被叫做這個基數的初始序數。所有有限序數(自然數)是初始的，但是多數無限序數不是初始的。選擇公理等價於聲稱所有集合可以是良序的，就是說所有基數都有初始序數。在這種情況下，在傳統上把基數等同它的初始序數，並稱這個初始序數是一個基數。

第 α 無限初始序數寫為 $\omega _{\alpha }$ 。它的勢寫為 $\aleph _{\alpha }$ 。例如，ω₀ = ω 的勢是 $\aleph _{0}$ ，它也是 ω² 或 ε₀(所有可數序數)的勢。所以(假定選擇公理)我們可以把 ω 等同於 $\aleph _{0}$ ，除了在寫為基數的時候使用符號 $\aleph _{0}$ ，寫為序數的時候使用符號 ω 之外(這是重要的，因為 $\aleph _{0}^{2}=\aleph _{0}$ 而 $\omega ^{2}>\omega$ )。還有， $\omega _{1}$ 是最小的不可數序數(要見到它的存在，考慮自然數的良序排序的等價類的集合: 每個這種良序排序定義一個可數序數，而 $\omega _{1}$ 是這個集合的序類型)， $\omega _{2}$ 是其勢大於 $\aleph _{1}$ 的最小的序數，以此類推，而 $\omega _{\omega }$ 是對於自然數 n 的 $\omega _{n}$ 的極限(任何基數的極限是基數，所以這個極限的確是在所有 $\omega _{n}$ 之後的第一個基數)。

參見