變分

變分是在應用數學與變分法中泛函應對與函數中的微分使用的概念。具體可以分為泛函的變分、函數的變分等。

函數的變分

設極值曲線為${\hat {y}}={\hat {y}}(x)$，可取曲線為$y=y(x)$。定義$\delta {y}={\hat {y}}-y$為y的一次變分，即函數y的增量。從而可得$\delta {y'}={\hat {y}}'-y'$

對隱函數$\varphi (x,y)=0$，其一次變分即為全微分：${\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}+\delta x{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {x}}}$。由於x無增量，即$\delta x=0$，故有${\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}$。

泛函的變分

對泛函${\underset {y}{\min }}{J(y)}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y(x),y'(x))dx$，

可得$J({\hat {y}})-J(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx+O(\delta y)$，其一次變分是其Taylor級數的一次項，即$\delta J=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx$，或直接定義一次變分為 $\delta J(y,h)={\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}\,$ 。

故其二次變分為其Taylor級數的二次項，即$\delta ^{2}J={\frac {1}{2}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}(\delta y)^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}\delta y\delta y'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}(\delta y')^{2})dx$。

需要注意，與二階微分$d^{2}y=d(dy)$不同，泛函的二次變分不是對其一次變分再取變分。

實例

計算 $J(y)=\int _{a}^{b}yy'dx\,$的一次變分？

$\delta J(y,h)\,$	$={\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$={\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$={\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$=\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx$

參見

• 泛函
• 變分法
• 控制論

參考文獻

外鏈

• Exampleproblems.com（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）有更多計算泛函一次變分的實例。