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哈代—拉馬努金定理

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數學上,哈代—拉馬努金定理是由拉馬努金證明、由哈代檢驗的公式。[1]公式斷言,若是正整數彼此相異的質因數個數,那麼其正常階英語normal order of an arithmetic function

換句話說,絕大多數的正整數相異的質因數個數大略為

精確描述

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一個更精確的敘述是,若是任意實數函數,且在趨近於無限時會趨近於無限的話,那麼以下關係式對幾乎所有的整數成立(也就是例外的比例無限小):

更傳統的關係式如下:

換句話說,若是不大於且是上式例外的正整數的個數的話,那麼在趨近於無限時,趨近於零。

歷史

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圖蘭·帕爾在1934年找到了上式的簡單證明,他用圖蘭篩法證明了下式:(Turán (1934)

推廣

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若將換成,即正整數質因數總數、將重複質因數重複計算,類似的結果仍然成立。

另外,這定理後來被推廣為艾狄胥—卡滋定理英語Erdős–Kac theorem;而艾狄胥—卡滋定理指出的數值基本呈現正態分布

參考資料

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