四角柱

四角柱
	四種四角柱
類別	柱體
對偶多面體	雙四角錐
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	t{2,4}; {4}×{}
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	2 4 \| 2
康威表示法	P4
性質
面	6
邊	12
頂點	8
歐拉特徵數	F=6, E=12, V=8 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	4個矩形側面 ; 2個四邊形底面
頂點圖	4.4.4
特性
	凸
	閱; 論; 編;

在幾何學中，四角柱又稱四稜柱^[1]是指底面為四邊形的柱體，當底面為正方形時會成為立方體。所有四角柱都有6個面8個頂點和12個邊。對偶多面體是雙四角錐。

只要底面是四邊形皆稱為四角柱

性質

體積與表面積

底面為任意四邊形的四角柱的體積可以利用底面積乘以高來計算，若底面為凸四邊形則可以透過底面的兩個對角線向量與兩個底面對角線交點向量的三階行列式絕對值來計算：^[2]^[3]

V_凸四角柱 =

{\frac {1}{2}}\left|{\begin{vmatrix}x_{{}_{AC}}&y_{{}_{AC}}&z_{{}_{AC}}\\x_{{}_{BD}}&y_{{}_{BD}}&z_{{}_{BD}}\\x_{{}_{PQ}}&y_{{}_{PQ}}&z_{{}_{PQ}}\end{vmatrix}}\right|

其中ABCD為底面四邊形，AC、BD為凸四角柱底面四邊形的兩條對角線，對角線AC向量為 $(x_{{}_{AC}},y_{{}_{AC}},z_{{}_{AC}})$ 、對角線BD向量為 $(x_{{}_{BD}},y_{{}_{BD}},z_{{}_{BD}})$ ，P為下底對角線交點、Q上底對角線交點，PQ為柱高， $(x_{{}_{PQ}},y_{{}_{PQ}},z_{{}_{PQ}})$ 表示PQ向量

亦可寫為向量積與數量積的形式：

V_凸四角柱 =

{\frac {1}{2}}\left|{\overrightarrow {PQ}}\cdot ({\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}})\right|

此種計算方法源自於底面積乘以高，而任意凸四角柱的底面一定是凸四邊形，因此會適用於任意凸四邊形的面積公式，可由對角線長與對角線夾角計算^[4]^[5]

A_底面積

={\tfrac {1}{2}}{\overline {AC}}\,{\overline {BD}}\sin(\angle APB),

而此公式就直接對應到底面對角線向量的外積：^[6]^[7]

{\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}}=\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BD}}\right\|\sin(\angle APB)\ \mathbf {n}

其中n為單位向量，但由於最後結果取絕對值所以被省略。

因此其表面積也可以利用此法計算，為底面積的兩倍加上周長乘高：

A_凸四角柱 =

\left|{\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}}\right|+(\left|{\overline {AB}}\right|+\left|{\overline {BC}}\right|+\left|{\overline {CD}}\right|+\left|{\overline {DA}}\right|)\cdot \mathbf {h}

作為截角四面形

四面形是一種退化的四面體，在球面幾何學中，四面形可以在球面上以鑲嵌的方式存在，表示四個鑲嵌在球體上的球弓形（英語：Spherical lune），施萊夫利符號中利用{2,4}來表示，然而四角柱可藉由切去四面形的兩個頂點產生上下兩個四邊形面，原本的二角形因為多了切去四面形的兩個頂點所形成的兩條邊而變成側面正方形。

也因此，四角柱在施萊夫利符號中也可以寫為t{2,4}，表示截角的四面形。

四面形	截角四面形

常見的四角柱

正四角柱

正四角柱代表底面為正方形的四角柱，其對偶為正雙四角錐。若側面不是正方形也稱為長方體，因為可以使用其中一個側面當作底面。側面也是正方形的正四角柱是正立方體，其具有正八面體對稱性（英語：Octahedral symmetry），對應的考克斯特群是BC₃對稱性，由於底面和側面全等，因此每個頂點都是三個正方形（一個底面正方形和兩個側面正方形）的公共頂點，施萊夫利符號{4,3}^[8]，其頂點圖為正三角形，頂點布局為3³（三個正方形，一個底面和兩個側面），在考克斯特-迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin digram）中以表示，由於側面是正方形的正四角柱是正多面體，因此其對偶多面體也會是正多面體，即正八面體，也就是一個所有面都全等的正雙四角錐。

正四角柱

依照底面和側面的特性有不同的對稱性，對稱性最高的是底面和側面都是正方形的正四角柱，其次是側面不是正方形的正四角柱，長寬高都不等長的長方體的對稱性最低。

名稱	立方體	正四角柱	長方體
考克斯特記號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{4,3}	{4}×{}	{}×{}×{}
威佐夫記號（英語：Wythoff symbol）	3 \| 4 2	4 2 \| 2	2 2 2 \|
對稱性（英語：List of spherical symmetry groups）	O_h (*432)	D_4h (*422)	D_2h (*222)
對稱群階數	24	16	8
圖像	(111)	(112)	(123)

長方體

長方形的柱體稱為長方體^[9]。其具有D_2h, [2,2], (*222)的對稱性，階數為8，其在施萊夫利符號中用{ } × { } × { }表示，其頂點圖為三角形，在考克斯特-迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin digram）中以表示，其對偶多面體為雙長方錐，及兩個底面為長方體的四角錐被堆被堆疊所形成的立體。

若一個長方體的底面任一邊長與與高相等，則這個長方體會有兩個正方形側面，因此也可以視為正四角柱，此時每個頂點都是2個長方形和一個正方形的公共頂點，具有點可遞的性質，頂點圖為等腰三角形，等腰三角形兩個腰長來自長方形對角線，等腰三角形的底邊來自正方形面，這種長方體在施萊夫利符號中可表示為{4}x{}、並具有比上述另一種長方體擁有更高的D_4h, [4,2], (*422)對稱性，階數為12。

其展開圖的數量依邊長的差異性有所不同。底面邊長不同且高也跟底面邊長不同的長方體共有54種不同的展開圖^[10]。

四角柱	矩形柱的展開圖

梯形柱

底面是梯形的四角柱稱為梯形柱。

梯形柱	梯形柱	梯形柱展開圖

梯形柱的體積可以藉由LH(A + B)/2來計算，其中A是底面梯形的上底、B是底面梯形的下底、L是底面梯形的高、H是柱體的高^[11]。

非凸四角柱

非凸四角柱是指底面為非凸四邊形的四角柱。

凹四角柱是指有一個角大於180度的四角柱，通常凹四角柱都是因為底面有凹四邊形才會構成。

二複合二角形柱體兩個四邊形二面體組成的複合體在施萊夫利符號中計為{4/2}x{} 但是其已退化，不具有體積	凹鷂形柱底面為凹鷂形的柱體

斜四角柱

斜四角柱是一種底面為四邊形但是側面與底面不成直角的柱體^[12]。最常見的斜四角柱是平行六面體，一種底面為平行四邊形的斜四角柱。

斜平行四邊形柱體又稱平行六面體

參見

六面體

參考文獻

^ 楊波. 四棱柱側棱上四點共面的一個充要條件. MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS (陝西省城固師范學校). 2003, 10. doi:10.3969/j.issn.1002-7572.2003.10.024.
^ 李汶忠. 四棱柱体积的解析求法. 中央民族大學學報: 自然科學版. 1997, (1): 39-41.
^ 李汶忠. 四边形面积和四棱柱, 锥体积的解析求法. 數學通報. 1985, 6: 12.
^ Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.
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^ TR Smith. Volume of a Trapezoidal Prism: Formula and Examples. Owlcation. 2016-02-08 [2016-08-23]. （原始內容存檔於2016-08-26）.
^ どちらも四角柱です. morinogakko. [2016-08-24]. （原始內容存檔於2016-08-27）.

[3] 楊波. 四棱柱側棱上四點共面的一個充要條件. MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS (陝西省城固師范學校). 2003, 10. doi:10.3969/j.issn.1002-7572.2003.10.024.

[4] 李汶忠. 四棱柱体积的解析求法. 中央民族大學學報: 自然科學版. 1997, (1): 39-41.

[5] 李汶忠. 四边形面积和四棱柱, 锥体积的解析求法. 數學通報. 1985, 6: 12.

[6] Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.

[Josefsson4-7] Josefsson, Martin, Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles (PDF), Forum Geometricorum, 2013, 13: 17–21 [2016-08-24], （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04） .

[8] Wilson, Edwin Bidwell. Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Yale University Press. 1901. p. 60–61

[Cullen-9] Dennis G. Zill; Michael R. Cullen. Definition 7.4: Cross product of two vectors. Advanced engineering mathematics 3rd. Jones & Bartlett Learning. 2006: 324. ISBN 0-7637-4591-X.

[10] Weisstein, Eric W. (編). Cube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[11] Robertson, Stewart Alexander, Polytopes and Symmetry, Cambridge University Press: 75, 1984, ISBN 978-0-521-27739-6

[12] ts of a cuboid. donsteward. 2013-05-24 [2016-08-23]. （原始內容存檔於2016-03-04）.

[13] TR Smith. Volume of a Trapezoidal Prism: Formula and Examples. Owlcation. 2016-02-08 [2016-08-23]. （原始內容存檔於2016-08-26）.

[14] どちらも四角柱です. morinogakko. [2016-08-24]. （原始內容存檔於2016-08-27）.

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對稱群（英語：List of spherical symmetry groups）：[4,2], (*422)							[4,2]⁺, (422)	[1⁺,4,2], (222)	[4,2⁺], (2*2)


{4,2}	t{4,2}	r{4,2}	2t{4,2}=t{2,4}	2r{4,2}={2,4}	rr{4,2}	tr{4,2}	sr{4,2}	h{4,2}	s{2,4}
半正對偶


V4²	V8²	V4²	V4.4.4	V2⁴	V4.4.4	V4.4.8	V3.3.3.4	V2²	V3.3.2.3

閱論編錐體與柱體
錐體	三角錐正三角錐四角錐五角錐六角錐七角錐八角錐九角錐十角錐十一角錐十二角錐 ... 無限角錐
雙錐體	雙三角錐雙四角錐雙五角錐雙六角錐雙七角錐雙八角錐雙九角錐雙十角錐 ... 雙無限角錐
柱體	三角柱四角柱五角柱六角柱七角柱八角柱九角柱十角柱十一角柱十二角柱 ... 無限角柱（雙曲）
反柱體	三角反柱四角反柱五角反柱六角反柱七角反柱八角反柱 ... 無限角反柱
錐台	三角錐台四角錐台五角錐台六角錐台 ...
雙錐台	雙三角錐台雙四角錐台雙五角錐台雙六角錐台 ...
錐柱體	三角錐柱四角錐柱五角錐柱六角錐柱七角錐柱八角錐柱 ... 無限角錐柱
雙錐柱體	雙三角錐柱雙四角錐柱雙五角錐柱雙六角錐柱雙七角錐柱雙八角錐柱 ... 雙無限角錐柱
角錐反柱	三角錐反柱四角錐反柱五角錐反柱六角錐反柱 ...
雙錐反柱	雙三角錐反柱雙四角錐反柱雙五角錐反柱雙六角錐反柱 ...
其他	圓錐圓柱雙圓錐圓錐柱

四角柱

性質