導出拓撲

在拓撲學與相關數學領域裡，導出拓撲（英語：induced topology，或譯誘導拓撲）是指透過拓撲空間與某個集合間的函數，所導出該集合之拓撲。該集合可能是函數的定義域或對應域。

定義

導出拓撲的定義如下：

令 X₀、X₁ 為集合，

f:X_{0}\to X_{1}

為由 X₀ 映射至 X₁ 的函數。

若

\tau _{0}

為 X₀ 上的拓撲，則由

f

在 X₁ 上導出之拓撲為

\{U_{1}\subseteq X_{1}|f^{-1}(U_{1})\in \tau _{0}\}

。

若

\tau _{1}

為 X₁ 上的拓撲，則由

f

在 X₀ 上導出之拓撲為

\{f^{-1}(U_{1})|U_{1}\in \tau _{1}\}

。

可以看到，上述兩個定義都是使用原像，因為原像會維持集合的交集與聯集，但像則不一定可以。舉例來說，考慮一具有拓撲 $\{\{-2,-1\},\{1,2\}\}$ 之集合 $X_{0}=\{-2,-1,1,2\}$ 、一集合 $X_{1}=\{-1,0,1\}$ ，以及一函數 $f:X_{0}\to X_{1}$ ，使得 $f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1$ 。可知， $\tau _{1}=\{f(U_{0})|U_{0}\in \tau _{0}\}$ 不會形成一個拓撲，因為 $\{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq \tau _{1}$ ，但 $\{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}$ 。