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康托爾空間

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數學中,以格奧爾格·康托爾命名的康托爾空間是對經典康托爾集拓撲學抽象:即與康托爾集同胚拓撲空間。在集合論中,拓撲空間2ω也就是康托爾空間。

例子

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康托爾集自身就組成康托爾空間不過,康托爾空間的一般標準例子是可數無限多個離散兩點空間{0, 1}的,一般寫作或2ω(其中2表示離散拓撲中的2-元素集合{0,1})。2ω中的一個點是一個由0和1組成的無窮二進制序列,給定這樣一個序列a0a1a2……,可以將其映射為實數

這個映射指出了從2ω到康托爾集的同胚,表明2ω是一個康托爾空間。

康托爾空間常見於實分析。例如,它們作為子空間存在於每個完美完備空間(要了解這一點,請注意在這樣的空間中,任何非空完美集都包含兩個直徑任意小的不交非空完美子集,因此我們可以模仿通常的康托爾集的構造。)。另外,每個可分不可數完全可度量空間都有康托爾空間作為其子空間。這包括實分析中的大多數常見空間。

特徵

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布勞威爾定理給出了康托爾空間的拓撲特徵:[1]

任意兩個無孤點、非空的豪斯多夫空間(有可數,包含閉開集)都是互相同胚的。

具有由閉開集構成的基的拓撲空間,也稱為「零維空間」。布勞威爾定理可以重述為

拓撲空間是康托爾空間,當且僅當其非空、是完美集、是緊空間、是完全不連通空間、是可度量的。

該定理還通過Stone布爾代數表示定理等價於:任意兩個可數無原子布爾代數都同構

性質

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正如布勞威爾定理指出的那樣,康托爾空間可以以多種形式出現。但是,康托爾空間的許多性質都可以用2ω確定,因為康托爾空間可以構造為它們的積。

康托爾空間有以下性質:

  • 任何康托爾空間的,也就是連續統的勢
  • 兩個(直至任何有限個或可數個)康托爾空間的積仍然是康托爾空間。這一事實與康托爾函數一同,可以構造空間填充曲線
  • 當且僅當一個(非空)豪斯多夫拓撲空間是一個康托爾空間的連續時,它是緊可度量空間。[2][3][4]

C(X)表示拓撲空間X上所有實值有界連續函數的空間;令K表示緊可度量空間,令Δ表示康托爾集。那麼康托爾集具有以下性質:

一般來說,這種同構性不唯一,因此並不是範疇論意義上的泛性質

另見

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參考文獻

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  1. ^ Brouwer, L. E. J., On the structure of perfect sets of points (PDF), Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen, 1910, 12: 785–794 [2023-08-28], (原始內容存檔 (PDF)於2023-04-10) .
  2. ^ N.L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, London Mathematical Society Student Texts 64, (2005) Cambridge University Press. See Chapter 12
  3. ^ Willard, op.cit., See section 30.7
  4. ^ Pugh "Real Mathematical Analysis" Page 108-112 Cantor Surjection Theorem. [2023-08-28]. (原始內容存檔於2023-11-19). 
  5. ^ Carothers, op.cit.
  6. ^ R.D. Anderson, The Algebraic Simplicity of Certain Groups of Homeomorphisms, American Journal of Mathematics 80 (1958), pp. 955-963.