康托爾集

一種像康托爾集圖案的柱頭。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828  菲萊島雕塑

在數學中，康托爾集（Cantor set）由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入（但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯在1875年發現），是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。

康托爾集的構造

康托爾集是由不斷去掉線段的中間三分之一的開集而得出。首先從區間$\left[0,1\right]$中去掉中間的三分之一$\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$，留下兩條線段：$\left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]$。然後，把這兩條線段的中間三分之一都去掉，留下四條線段：$\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]$。康托爾集就是由所有過程中沒有被去掉的區間$[0,1]$中的點組成。這個過程可以由遞歸的方法描述，首先令：

$C_{0}:=[0,1]$

則第$n$步遞歸得到的結果：

$C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)$, 對於$n\geq 1$

所以：

${\mathcal {C}}:=$ $\lim _{n\to \infty }C_{n}$ $=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}$, 對於 $m\geq 0$.

下面的圖顯示了這個過程的最初六個步驟。

有些學術論文詳細描述了康托爾集的明確公式。

參見

• 康托爾函數
• 康托爾立方體
• 謝爾賓斯基地毯
• 科赫雪花
• 門格海綿
• 分形列表

參考文獻

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446  (See example 29).
• Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
• cut-the-knot上的康托爾集 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• cut-the-knot上的康托爾集與函數 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

• Cantor Sets （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and Cantor Set and Function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot