截面二次軸矩

此條目介紹的是橫截面的慣性矩。關於物體旋轉的慣性矩或轉動慣量，請見「轉動慣量」。

此條目介紹的是截面對於軸的矩。關於截面對於點的矩，請見「極慣性矩」。

面積二次軸矩（second axial moment of area），又稱面積慣性矩，或面積對某一軸的慣性矩，通常是對受彎曲作用物體的橫截面而言，是反映截面的形狀與尺寸對彎曲變形影響的物理量。彎曲作用下的變形或撓度不僅取決於荷載的大小，還與橫截面的幾何特性有關。如工字梁的抗彎性能就比相同截面尺寸的矩形梁好。它和反映截面抗扭轉作用性能的面積極慣性矩是相似的。

面積二次軸矩雖然也稱「慣性矩」，但它和用以計算旋轉物體角加速度的質量慣性矩（常稱為轉動慣量）是不同的兩個概念。二者有相同的符號$I$（$I$是英文中慣性 inertia 的首字母），但依據上下文二者不致混淆。而且二者的因次或單位不同：面積二次軸矩的單位是長度的四次方，而後者的單位是長度的二次方乘以質量。

定義

截面的面積為A，則

$I_{x}=\int y^{2}\,\mathrm {d} A$

$I_{y}=\int x^{2}\,\mathrm {d} A$

分別表示截面對坐標軸x與y的慣性矩，第一式中的y和第二式中的x分別表示面積微元dA到x和到y軸的垂直距離。

在國際單位制（SI）中，截面二次軸矩的單位是m⁴，常用mm⁴表示。

坐標變換

計算截面慣性矩時常根據截面形狀採用方便計算的坐標系，然後可以通過坐標變換應用到其他坐標系中。

平行軸定理

主條目：平行軸定理

在已知對過截面形心軸的慣性矩和軸間距離的情況下，平行軸定理可以確定對變換後新軸的慣性矩。

$I_{x}=I_{xCG}+Ad^{2}\,$

• I_x ：對x軸的慣性矩
• I_xCG ：對與x軸平行並且過截面形心的軸（與中性軸重合）的慣性矩
• A ：截面面積
• d ：兩軸之間的距離

轉軸公式

下列公式可以計算坐標軸旋轉一個角度後截面對新坐標軸的慣性矩

${I_{x}}^{*}={\frac {I_{x}+I_{y}}{2}}+{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\cos(2\phi )-I_{xy}\sin(2\phi )$

${I_{y}}^{*}={\frac {I_{x}+I_{y}}{2}}-{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\cos(2\phi )+I_{xy}\sin(2\phi )$

• $\phi$ ：旋轉的角度（逆時針）

$x^{*}=x\cos \phi +y\sin \phi$

$y^{*}=-x\sin \phi +y\cos \phi$

• I_x 和 I_y ：原坐標系下的慣性矩
• I_x^* 和 I_y^* ：坐標系轉動後新坐標系下的慣性矩

簡單截面的慣性矩

以下是幾種簡單截面對"截面形心"所在軸的慣性矩

矩形截面

$I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$

• b ：寬度（x方向）
• h ：高度（y方向）

$I_{y}={\frac {hb^{3}}{12}}$

• b ：寬度（x方向）
• h ：高度（y方向）

圓形截面

$I_{x}={\frac {\pi }{64}}D^{4}={\frac {\pi }{4}}r^{4}$

$I_{o}=2I_{x}={\frac {\pi }{2}}r^{4}$

• D ：直徑
• r ：半徑

三角形截面

以底邊方向為x方向

$I_{x}={\frac {bh^{3}}{36}}$

• b ：底邊寬度（x方向）
• h ：高（y方向）

梁的彎曲正應力

以中性軸為原點，單向受彎梁橫截面上y處的正應力為

${\sigma }={\frac {My}{I_{x}}}$

• M ：作用在梁上的彎矩
• y ：到通過形心的x軸的距離
• I_x ：對通過形心的x軸的慣性矩

由該式可見截面的慣性矩越大，彎曲正應力越小，抗彎性能越好。

與極慣性矩（截面二次極矩）的關係

由於$\rho ^{2}=y^{2}+z^{2}$，極慣性矩$I_{P}=\int _{A}\rho ^{2}dA$ 根據截面二次軸矩的定義，可知：

$I_{P}=I_{y}+I_{z}$

即截面對於任何一點的極慣性矩，等於該截面對以該點為原點的任意一組正交坐標系的截面二次軸矩之和

相關條目

• 轉動慣量列表
• 轉動慣量
• 極慣性矩
• 平行軸定理
• 垂直軸定理

參考文獻

• 單祖輝. 《材料力学/I》. 高等教育出版社出版. 2004年. ISBN 7040144751. 

外部連結

• （德文）截面慣性矩的圖示示例（de.wikipedia.org） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）