正規模態邏輯

在邏輯中，正規模態邏輯是模態公式的集合 $L$，$L$ 包含

• 所有命題重言式，
• 所有滿足 Kripke 模式的實例: $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$，

並且 $L$ 閉合於

• 分拆規則（肯定前件）: $A\rightarrow B,A\vdash B$，
• 必然性規則: 從 $\vdash A$ 推出 $\vdash \Box A$。

最小化的滿足上述條件的邏輯叫做 K。大多數如今常用的模態邏輯（指有哲學動機的）如C. I. 劉易斯的S4與S5皆為在K基礎之上的擴展。然而也有一部分如道義邏輯與認識邏輯是非正規的，因為它們捨棄了Kripke模式。

常見的模態邏輯

下表給出了一些常見的模態邏輯系統。表中的標記可參見 Kripke 語義 § 常見模態公理模式。 某些系統的框架條件要求被簡化了，它們在給定的框架類中完備，但是可能對應一個更大的框架類。

名稱	公理	框架條件
K	—	所有框架
T	T	自反
K4	4	傳遞
S4	T, 4	預序
S5	T, 5 或 D, B, 4	等價關係
S4.3	T, 4, H	完全預序
S4.1	T, 4, M	預序, $\forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))$
S4.2	T, 4, G	有向預序
GL	GL or 4, GL	有窮嚴格偏序
Grz, S4Grz	Grz or T, 4, Grz	有窮偏序
D	D	serial
D45	D, 4, 5	傳遞，全序且歐拉

參見

• Alexander Chagrov and Michael Zakharyaschev, Modal Logic, vol. 35 of Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.