網絡科學

網絡科學是從交叉學科研究成長起來的一個新興的學術領域。致力於研究複雜網絡的性質，並且應用這些性質去研究一些具有網絡特點的領域，比如信息技術網絡，計算機網絡，生物圈網絡，學習和認知網絡，社會關係網絡以及經濟和金融網絡。這個領域以數學中的圖論為理論基礎，從物理中的統計力學，計算機科學中的數據挖掘和信息可視化，統計學中的推斷建模，以及社會學和經濟學中的社會結構理論等學科和分之中汲取方法論營養。美國國家科研委員會（National Research Council）將網絡科學定義為「研究物理，生物，和社會現象的網絡化表達，建立針對這些象限具有預測效果的模型」的學科。

網絡的性質

網絡的節點及其之間的連接，常建模成圖論的頂點和邊。此時，可以計算圖的某些參數，來分析網絡的對應性質。該些網絡性質在定義各種網絡模型時會用到，或是可用作比較不同模型的異同。除下列外，網絡科學亦有採用其他圖論術語來描述網絡的性質。

大小

網絡的大小是以其節點數$N$衡量，又或是其邊數$E$。對於無重邊的連通網絡，邊數介乎$N-1$（樹）和某個最大值$E_{\max }$。對於簡單圖（網絡的每對頂點之間至多衹有一條無向邊，且頂點不會與自己連邊），有$E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2$；對於（也不允許頂點與自己連邊的）有向圖，則是$E_{\max }=N(N-1)$；對於允許與自己連邊的有向圖，最大值是$E_{\max }=N^{2}$。若允許一對頂點之間有多條不同連接，則總邊數沒有上限。

密度

密度$D$將網絡的邊數$E$，化成介乎$0$至$1$的數值衡量。其為網絡含有的「非必須」邊數，相比全部可能的非必須邊數，兩者的百分比，即

$D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}$

其中$E_{\mathrm {min} }$和$E_{\mathrm {max} }$分別是上一小節中，$N$個節點的連通網絡，其邊數的最小和最大可能值。對於簡單圖，將$E_{\mathrm {max} }={\tbinom {N}{2}}$和$E_{\mathrm {min} }=N-1$代入得

$D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}.$

另一條公式是$D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}}$，其中$T$是單向連結的數目（Wasserman & Faust 1994）。

網絡直徑

彼得森圖，直徑2

網絡中的任意一對節點，可以找出兩者之間的最短線路。所有此種最短線路之中，最長的長度就稱為網絡的直徑。換言之，直徑是網絡上最遠兩點的最短距離。舉例，附圖所示的網絡，其直徑為2，因為自任一點至另一點，衹需兩步連接。

各種模型

現實中，常會遇到複雜的網絡，而數學模型是分析該些網絡的基本工具。不同的隨機圖模型生成出不同的網絡結構，用於與現實網絡作比較。

艾狄胥-雷尼隨機圖

主條目：ER隨機圖

以$N=4$個節點生成的ER模型。給定$N$個頂點，為每對頂點獨立地選取一個$0$至$1$之間的均勻隨機數，與某個固定的概率$p$作比較。若隨機數小於$p$，則兩點之間連邊。

艾狄胥-雷尼模型（英語：Erdős–Rényi model）得名自兩位匈牙利數學家艾狄胥·帕爾和雷尼·奧爾弗雷德，此模型生成的隨機圖中，每對頂點之間皆各自獨立地以某固定概率$p$連邊。圖論的概率法常用此模型證明存在具某種性質的圖，並用作明確定義何謂「幾乎所有」圖皆具某種性質。

ER隨機圖$G(n,p)$的參數$n$表示頂點數，而$p$則是任意兩頂點之間連邊的概率。此模型中，各個頂點的地位相同，沒有偏重，每個頂點的度遵循二項分佈，對於任意頂點$v$，度數為$k$的概率是：

$\mathbb {P} (\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.$

瓦茨-斯特羅加茨模型

主條目：瓦茨-斯特羅加茨模型

瓦茨-斯特羅加茨模型生成網絡時，用到「重連」（rewiring）。模型始於規律的柵格結構，然後其每條邊有一個固定的概率發生重連，改變連接的頂點。圖示的平均度為$\langle k\rangle =4$。

瓦茨-斯特羅加茨模型（Watts–Strogatz model）產生的隨機圖滿足小世界性質。

初始時，將網絡的節點排成一圈，每個節點與最近$\langle k\rangle$個節點相連，另一個參數是重連的概率$p$，前述的每條邊以此概率發生重連，變成一條新的邊，保持一端不變，另一端則改為隨機一個頂點（但保持沒有兩點重複連邊）。重連次數期望值為$pE=pN\langle k\rangle /2$。

因為始於規則的網絡，若重連少（即$p$小），則集聚系數高，平均路徑亦長。隨$p$增加，每次重連皆可能產生不同集聚之間的捷徑，所以集聚系數和平均路徑長度皆會下降。但是，後者降得更快，所以在某時刻，會出現集聚系數大而平均路徑短的網絡，此為「小世界網絡」的特性。$p$較大時，多數邊皆被重連，所得網絡與完全隨機的網絡差異不大。

分支領域

信息技術網絡

互聯網

生物圈網絡

生物神經網絡

計算機網絡

人工神經網絡

經濟網絡

人際關係網絡幫助決定了人們所選擇的職業生涯，人們所找到的工作，他們買的商品，以及他們如何投票。社會網絡決定着我們生活中的諸多方面。因此，社會網絡是如何影響我們的行為，在一個社會中出現什麼樣的網絡結構以及它們出現的概率有多大，以及我們為什麼像現在這樣安排我們自己的生活，就成為了值得研究的問題，也是許多社會科學研究中的關鍵因素。

參考

• 圖論
• 統計力學
• 數據挖掘
• 複雜網絡