背景場方法

在量子場論中，背景場方法是通過將場系統中一些量子場寫成經典場（稱為背景場）和量子場的疊加，從而計算原來的量子場的有效作用量的方法。由於該方法能給出保持規範對稱性的結果，它常被用於規範場的量子化。

原理

量子場的格林函數可以由其生成泛函$Z[J]$對外源$J$的泛函微商給出：

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J^{a}(x)\phi ^{a}(x))\right)$

連通格林函數的生成泛函$W[J]$為：

$W[J]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J])$

有效作用量$\Gamma [\phi ]$為$W[J]$的勒讓德變換：

$\Gamma [\phi ]=W[J]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\phi ^{a}(x)$，其中$J$由方程$\phi ={\frac {\delta W[J]}{\delta J}}$決定。$\Gamma [\phi ]$也是單粒子不可約格林函數的生成泛函。

如果將$\phi$寫成經典場$B$（稱為背景場）和量子場$\eta$的疊加：

$\phi (x)=B(x)+\eta (x)$.

則同樣可以定義背景場存在下量子場$\eta$的生成泛函$Z[J,B]$，$W[J,B]$和有效作用量$\Gamma [\eta ,B]$：

$Z[J,B]=\int {\mathcal {D}}\eta \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\eta (x)+B(x)]+J^{a}(x)\eta ^{a}(x))\right)$

$W[J,B]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J,B])$

$\Gamma [\eta ,B]=W[J,B]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\eta ^{a}(x)$，$\eta ^{a}={\frac {\delta W[J,B]}{\delta J^{a}}}$

對$Z[J,B]$的路徑積分表達式作$\eta \to \phi -B$的變量代換，可以證明：

$\Gamma [\eta ,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =\eta +B}$，特別地，$\Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =B}$

因此，為計算量子場$\phi$的有效作用量$\Gamma [\phi ]$，只需計算$\Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{B=\phi }$，此方法即為背景場方法。實際計算通常會使用微擾方法：將作用量$S[\eta +B]$中$\eta$的二次項當作無擾的作用量，用以構建$\eta$場的傳播子，包含$\eta$更高階次的項則視為相互作用項，並以微擾展開的方法處理。在這種處理下，$\Gamma [0,B]$是背景場存在時，所有單粒子不可約的真空圖的貢獻之和。量子場只出現在這些圖的內線中，而背景場只出現在這些圖的外線中。進行重整化時，背景場的場強需要重整化，但量子場的場強不需要重整化。

應用

背景場方法常被用於規範場的量子化。描述規範場論時，通常會從一個規範對稱的作用量出發。然而為了量子化規範場，需要向作用量中引入規範固定項（對於非阿貝爾規範場還需引入鬼場），如下所示：

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)$

其中${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$是規範場，${\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})$是引入的規範固定項，$\theta$是規範群的參數。

規範固定後的作用量失去了原有的規範對稱性。選取特定的規範並不會對可觀測量的計算帶來影響，這些量仍然具有規範對稱性。但是不可觀測的量，如格林函數、有效作用量以及重整化時引入的抵消項，通常不再具有規範對稱性。

如果使用背景場方法，在規範場上疊加一個經典場${\mathcal {B}}_{\mu }^{a}$，並選取如下的規範固定項（這種規範也被稱為背景場規範）：

$Z[J,{\mathcal {B}}]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)+{\mathcal {B}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)$

${\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}^{a\mu }+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{b}^{\mu }{\mathcal {B}}_{c\mu }$

那麼生成泛函$Z[J,{\mathcal {B}}]$在如下的無窮小規範變換下保持不變：

${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {A}}_{\mu }^{c}$；${\mathcal {B}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}+{\frac {1}{g}}\partial _{\mu }\theta ^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {B}}_{\mu }^{c}$；$J_{\mu }^{a}\to J_{\mu }^{a}+f^{abc}\theta ^{b}J_{\mu }^{c}$

因此，有效作用量$\Gamma [0,{\mathcal {B}}]$具有規範對稱性。由它生成的所有單粒子不可約的格林函數也都是規範不變的，並且滿足瓦德恆等式（在一般的規範下，格林函數隻滿足更為複雜的斯拉夫諾夫－泰勒恆等式）。運用背景場方法令規範場論變得更易於理解，同時也大大簡化了計算。

背景場方法也可用來處理電弱標準模型，這種情況下，除了要為規範場引入背景場，也要為希格斯場引入背景場，並將對稱性破缺帶來的希場真空期望值放入背景場中，以避免樹圖水平上規範場和希場自由度的混合（參見Rξ規範）。此外，背景場方法亦被用於處理引力和超引力相關的理論。