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背景場方法

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量子場論中,背景場方法是通過將場系統中一些量子場寫成經典場(稱為背景場)和量子場的疊加,從而計算原來的量子場的有效作用量英語Effective action的方法。由於該方法能給出保持規範對稱性的結果,它常被用於規範場的量子化。[1][2]

原理

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量子場的格林函數英語Correlation_function_(quantum_field_theory)可以由其生成泛函對外源的泛函微商給出:[1]

連通格林函數英語Ursell function的生成泛函為:[1]

有效作用量勒讓德變換[1]

,其中由方程決定。也是單粒子不可約格林函數的生成泛函。[3]

如果將寫成經典場(稱為背景場)和量子場的疊加:

.

則同樣可以定義背景場存在下量子場的生成泛函和有效作用量[1]

的路徑積分表達式作的變量代換,可以證明:[1][4]

,特別地,

因此,為計算量子場的有效作用量,只需計算,此方法即為背景場方法。實際計算通常會使用微擾方法:將作用量的二次項當作無擾的作用量,用以構建場的傳播子,包含更高階次的項則視為相互作用項,並以微擾展開的方法處理。在這種處理下,是背景場存在時,所有單粒子不可約的真空圖英語Feynman_diagram#Vacuum_bubbles的貢獻之和[1][5][6]。量子場只出現在這些圖的內線中,而背景場只出現在這些圖的外線中。進行重整化時,背景場的場強需要重整化,但量子場的場強不需要重整化[4]

應用

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背景場方法常被用於規範場的量子化。描述規範場論時,通常會從一個規範對稱的作用量出發。然而為了量子化規範場,需要向作用量中引入規範固定項(對於非阿貝爾規範場還需引入鬼場),如下所示:[2][3]

其中是規範場,是引入的規範固定項,是規範群的參數。[3]

規範固定後的作用量失去了原有的規範對稱性。選取特定的規範並不會對可觀測量的計算帶來影響,這些量仍然具有規範對稱性。但是不可觀測的量,如格林函數、有效作用量以及重整化時引入的抵消項,通常不再具有規範對稱性。[2][4]

如果使用背景場方法,在規範場上疊加一個經典場,並選取如下的規範固定項(這種規範也被稱為背景場規範[7]):

那麼生成泛函在如下的無窮小規範變換下保持不變:[3][4]

因此,有效作用量具有規範對稱性。由它生成的所有單粒子不可約的格林函數也都是規範不變的,並且滿足瓦德恆等式英語Ward–Takahashi_identity(在一般的規範下,格林函數隻滿足更為複雜的斯拉夫諾夫-泰勒恆等式英語Slavnov–Taylor_identities)。運用背景場方法令規範場論變得更易於理解,同時也大大簡化了計算。[5]

背景場方法也可用來處理電弱標準模型,這種情況下,除了要為規範場引入背景場,也要為希格斯場引入背景場,並將對稱性破缺帶來的希場真空期望值放入背景場中,以避免樹圖水平上規範場和希場自由度的混合(參見Rξ規範英語Gauge_fixing#Rξ_gauges[5][8]。此外,背景場方法亦被用於處理引力和超引力相關的理論[1]

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Abbott, L. F. Introduction to the Background Field Method (PDF). Acta Phys. Pol. B. 1982, 13: 33 [2018-04-03]. (原始內容 (PDF)存檔於2017-05-10). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Kleinert, Hagen. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets 5. World Scientific. 2009. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Peskin, Michael; Schroeder, Daniel. Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Publishing. 1994. ISBN 0-201-50397-2. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 L.F. Abbott. The background field method beyond one loop. Nuclear Physics B: 189–203. [2018-04-05]. doi:10.1016/0550-3213(81)90371-0. (原始內容存檔於2022-03-10). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 A. Denner, G. Weiglein, S. Dittmaier. Gauge invariance of Green functions: background-field method versus pinch technique. Physics Letters B: 420–426. [2018-04-05]. doi:10.1016/0370-2693(94)90162-7. (原始內容存檔於2020-02-13). 
  6. ^ 3 Background field methods. Selected Topics in Gauge Theories. SpringerLink. : 47-71 [2018-04-05]. doi:10.1007/3-540-16064-7 (英國英語). 
  7. ^ 劉川, 量子规范场论讲义, 1.0, 2003 
  8. ^ Ansgar Denner, Georg Weiglein, Stefan Dittmaier. Application of the background-field method to the electroweak standard model. Nuclear Physics B: 95–128. [2018-04-05]. doi:10.1016/0550-3213(95)00037-s. (原始內容存檔於2018-06-28).