自由對象

在數學中，自由對象是抽象代數中的基本概念。就其通於各種代數結構（帶有限操作）而言，它也屬泛代數的一支，例子包括自由群、張量代數與自由格。在範疇論的框架下，可以將自由對象推廣為自由函子，這是遺忘函子的左伴隨函子。

自由函子

範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構（如群、模等等）的範疇 ${\mathcal {C}}$ 。其上具有一個遺忘函子 $U:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$ ，此函子將一個對象映至其下的集合；換言之，此函子「遺忘」所有代數操作。

若 $U$ 有左伴隨函子 $F:\mathbf {Set} \to {\mathcal {C}}$ ，則稱之為 ${\mathcal {C}}$ 的自由函子。 $F(X)$ 可以設想為由集合 $X$ 生成的自由對象，此時也有映射 $X\to F(X)$ （在此濫用了符號：其實 $F(X)$ 是個代數結構，而 $X$ 卻是集合），此映射可理解為從生成元到自由對象的包含映射。

對於更一般的遺忘函子，也能考慮相應的自由函子，例如從 $k$ -向量空間映至其張量代數的函子，便是從 $k$ -代數映至 $k$ -向量空間的遺忘函子之左伴隨函子。在此意義下，張量代數有時也稱為自由代數。

例子