超函數

超函數（英語：hyperfunction）是一全純函數從一處邊界上向另一全純函數的「跳躍」，可以看作分布的推廣。超函數由佐藤幹夫於1958年提出。

實軸上的超函數可以看成是上半平面上的全純函數與下半平面的全純函數之間的「差異」。因而超函數可以用 $(f,g)$ 對來定義，其中 $f$ 是上半平面的一個全純函數， $g$ 則是下半平面的一個全純函數。

當用另一全純函數分別加到 $f$ 與 $g$ 上時， $f$ 與 $g$ 間的「差異」並不受影響。因而，令 $h$ 是複平面上的一全純函數，超函數 $(f,g)$ 和 $(f+h,g+h)$ 是等價的。

示例

$f$ 為複平面上的任一全純函數， $f$ 在實軸上可表示為超函數 $(f,0)$ 或 $(0,-f)$ 。
單位階躍函數可表示為超函數 $H(x)=\left({\frac {1}{2\pi i}}\log(z),{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)-1\right)$ 。
狄拉克δ函數可表示為超函數 $\left({\frac {1}{2\pi iz}},{\frac {1}{2\pi iz}}\right)$ 。

Hörmander, Lars, The analysis of linear partial differential operators, Volume I: Distribution theory and Fourier analysis, Berlin: Springer-Verlag, 2003, ISBN 3-540-00662-1 .
Sato, Mikio, Theory of Hyperfunctions, I, Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry, 1959, 8 (1): 139–193, MR 0114124 .
Sato, Mikio, Theory of Hyperfunctions, II, Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry, 1960, 8 (2): 387–437, MR 0132392 .