超限歸納法

超限歸納法（英語：Transfinite Induction）是數學歸納法向（大）良序集合比如基數或序數的集合的擴展。

超限歸納

假設只要對於所有的$\beta <\alpha$，$P(\beta )$為真，則$P(\alpha )$也為真。那麼超限歸納告訴我們$P$對於所有序數為真。

就是說，如果$P(\alpha )$為真只要$P(\beta )$對於所有$\beta <\alpha$為真，則$P(\alpha )$對於所有$\alpha$為真。或者更實用的說：若要證明所有序數$\alpha$都符合性質$P$，你可以假定它對於所有更小的$\beta <\alpha$已經是成立的。

通常證明被分為三種情況：

• 零情況： 證明$P(0)$為真。

• 後繼情況： 證明對於任何後繼序數$\beta +1$， $P(\beta +1)$得出自$P(\beta )$（如果需要的話，也假定對於所有 $\alpha <\beta$ 有$P(\alpha )$）。

• 極限情況： 證明對於任何極限序數$\lambda$，$P(\lambda )$得出自 [$P(\alpha )$對於所有$\alpha <\lambda$]。

留意，以上三種情況(證明方法)都是相同的，只是所考慮的序數類型不同。正式來說不用分開考慮它們，但在實踐時，因為它們的證明過程通常相差很大，所以需要分別表述。在一些情況下，「零情況」會被視為一種「極限情況」，因此可以使用極限序數來證明。

超限遞歸

超限遞歸是一種構造或定義某種對象的方法，它與超限歸納的概念密切相關。例如，可以定義以序數為下標的集合序列 A_α ，只要指定三個事項：

• $A_{0}$是什麼
• 如何確定$A_{\alpha +1}$自$A_{\alpha }$（又或者是從$A_{0}$到$A_{\alpha }$的部分）
• 對於極限序數$\lambda$，如何確定$A_{\lambda }$自$A_{\alpha }$的對於$\alpha <\lambda$的序列。

更形式的說，我們陳述超限遞歸定理如下。給定函數類$\mathrm {G_{1}}$, $\mathrm {G_{2}}$, $\mathrm {G_{3}}$，存在一個唯一的超限序列$\mathrm {F}$帶有$\mathrm {dom} (\mathrm {F} )=Ord$（$Ord$ 是所有序數的真類），使得

• $\mathrm {F} (0)=\mathrm {G_{1}} (\varnothing )$
• $\mathrm {F} (\alpha +1)=\mathrm {G_{2}} (\mathrm {F} (\alpha ))$，對於所有 $\alpha \in Ord$
• $\mathrm {F} (\alpha )=\mathrm {G_{3}} (\mathrm {F} \upharpoonright \alpha )$，對於所有極限序數 $\alpha \neq 0$。這裡的$\mathrm {F} \upharpoonright \alpha$是指$\mathrm {F}$在 $\{\beta \in Ord:\beta <\alpha \}$上的限制。

注意我們要求$\mathrm {G_{1}}$, $\mathrm {G_{2}}$, $\mathrm {G_{3}}$的定義域足夠廣闊來使上述性質有意義。所以滿足這些性質的序列的唯一性可以使用超限歸納證明。

更一般的說，你可以在任何良基關係$R$上通過超限遞歸定義對象。（$R$甚至不需要是集合；它可以是真類，只要它是類似集合的關係便可，也就是說：對於任何 $x$，使得$yRx$的所有$y$的搜集必定是集合。）

同選擇公理的聯繫

有一個常見的誤解是超限歸納法或超限遞歸法要求選擇公理。其實超限歸納可以應用於任何良序集合。但是常見的情況是使用選擇公理來良序排序一個集合，使其適用超限歸納法。

參見

• 數學歸納法
• 結構歸納法
• ε歸納法
• 首個不可數序數