跡不等式

在數學中，有很多關於希爾伯特空間上的矩陣和線性算子的不等式。而跡不等式就是與矩陣的跡有關的算子不等式。

基本定義

令H_n表示n×n埃爾米特矩陣空間， H_n⁺表示全體n×n半正定埃爾米特矩陣，H_n⁺⁺表示全體n×n正定埃爾米特矩陣。對於無限維希爾伯特空間上的算子，則需要跡類算子或埃爾米特算子，簡單起見，此處我們只討論矩陣。

對於任意實值函數 f 上的一個區間 I ⊂ℝ，通過在特徵值上定義函數和相應投影P乘積，可以在任意特徵值 λ 在I的算子A ∈ H_n上定義 矩陣函數 f(A) 如下：

$f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,$ 假設有譜分解 $A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.$

算子的單調性

定義在區間 I ⊂ℝ上的函數 f: I → ℝ 是算子單調的 ，如果對於∀n，∀ A,B ∈ H_n 且特徵值在 I中，有，

$A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),$

這裡 A ≥ B 表示 A − B ≥ 0 ，即A − B是半正定的。 注意， f(A)=A² 不是 算子單調的!

算子的凹凸性

函數 $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ 是 算子凸的 如果對任意 $n$ 和任意 A,B ∈ H_n 與特徵值在 I的一對矩陣，在 $0<\lambda <1$時有

$f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).$

由於 $A$ 和 $B$ 有的特徵值在 I中，注意矩陣 $\lambda A+(1-\lambda )B$ 特徵值也在 $I$中。

函數 $f$ 是 算子凹的 如果 $-f$ 是算子凸的，即上面關於 $f$ 不等式的符號反過來也成立。

聯合凸性

定義在區間 $I,J\subset \mathbb {R}$ 上的函數$g:I\times J\rightarrow \mathbb {R}$是 聯合凸的 ，如果對任意 $n$ 和任意$A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ 且特徵值在 $I$ 中，和任意 $B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ 且特徵值在 $J$中，在 $0\leq \lambda \leq 1$ 時有

$g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\leq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).$

一個功能 是 如果 是聯合凸，即不平等以上為 g 是相反的。

函數 g 是 算子聯合凹的 如果 −g 是聯合凸的，即上面關於 g 不等式符號反過來成立。

跡函數

給定函數 f:ℝ→ℝ，相應地可在 H_n 上定義 跡函數

$A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),$

其中 A 有特徵值 λ ，Tr表示算子的 跡 。

跡函數的凸性和單調性

設 f:ℝ→ℝ連續， n 是任意整數。 若 $t\mapsto f(t)$ 是單調遞增的，則跡函數 $A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)$ 在 H_n上也是單調遞增的。

類似，如果 $t\mapsto f(t)$ 是 凸的，則跡函數$A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)$ 在 H_n上也是凸的，它是嚴格凸的如果 f 嚴格凸。

證明和討論可參考 中。