ECT理論-牛頓引力理論

返回 在牛頓引力場中，粒子運動的拉格朗日量為：

• $L={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})$

其中 ${\vec {v}}$—粒子速度， $\varphi ({\vec {x}})$—牛頓引力勢 粒子運動方程由最小作用量原理$\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt=0$決定：

$0=\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta \left({\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})\right)}dt$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {v}}-m\delta \varphi ({\vec {x}})\right)}dt$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\vec {v}}\cdot {\frac {d\delta {\vec {x}}}{dt}}-m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt$

$=m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}|_{t1}^{t2}-\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot \delta {\vec {x}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt$

$=-\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\right)}\cdot \delta {\vec {x}}dt$

因此有：$m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})=0$即：${\vec {a}}=-\nabla \varphi ({\vec {x}})$，這是牛頓引力場中的粒子運動方程。 考慮在牛頓引力場中無壓理想流體的運動，則拉格朗日量變為：

• $L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})\right)dV}$

其中： $\rho$—流體質量密度， $dV$—體積元。 牛頓引力場本身的拉格朗日量為：

• ${{L}_{g}}=\int {\left(-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

同時考慮引力場和無壓理想流體，其總拉格朗日量為：

• $L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

為了得到引力場的運動方程，只對$\varphi ({\vec {x}})$取變分我們有：

$0=\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta Ldt}$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta \int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}dt}$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \delta (\nabla \varphi )\right)dV}dt}$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla (\delta \varphi )\right)dV}dt}$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}(\nabla \cdot (\delta \varphi \nabla \varphi )-\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi )\right)dV}dt}$

$=\int \limits _{t1}^{t2}{\int \limits _{\Sigma }{\left(-{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\right)}+\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi \right)dV}dt}$，其中$\Sigma$-包圍體積V的邊界

$=\int {\left(-\rho +{\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi \right)\delta \varphi ({\vec {x}})dV}dt$

因此有引力場運動方程${{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho$ 。 這樣，我們有包含引力場和無壓理想流體的總拉格朗日密度為：

• $\not {L}={\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$

按照分析力學原理，我們有守恆量---哈密頓量（其中：${\dot {\varphi }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$）為：

${\begin{aligned}&H=\int {\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{{{v}_{i}}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {{v}_{i}}}}}+{\dot {\varphi }}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {\dot {\varphi }}}}-\not {L}\right)}dV\\&=\int {\sum \limits _{i=1}^{3}{{{v}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{v}_{i}}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)}dV}\\&\mathop {} ^{}+\int {{\dot {\varphi }}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\varphi }}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&\mathop {} ^{}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left(\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\right)dV}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+\rho \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}$

其中$\rho \varphi ({\vec {x}})$代表理想流體與引力場的相互作用能，可以將它歸為理想流體的能量，也可以把它歸為引力場的能量，我們現在把它歸為引力場的能量，這時需要從引力場運動方程解出：$\rho ={\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi$，代入上式得：

${\begin{aligned}&H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\varphi {{\nabla }^{2}}\varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla (\varphi \nabla \varphi )-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}$

$=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}+{\frac {1}{4\pi G}}\int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}$

其中： $\Sigma$為包圍體積V邊界。體積V是全空間。 一般我們考慮有限區域的理想流體和引力場的情況，這時邊界是無限遠處，無限遠處的邊界條件是 $\varphi \nabla \varphi \to O({\frac {1}{{r}^{3}}})$，$d{\vec {S}}\to O({{r}^{2}})$ ，其積$\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\to O({\frac {1}{r}})$ ，因此$\int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}=0$ .考慮到有限區域的理想流體和引力場以及邊界條件，我們有：

• $H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

在分析力學中我們稱哈密頓量為能量，因此又可寫為：

• $E=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

哈密頓量是守恆量即${\frac {dH}{dt}}=0$ 也即${\frac {dE}{dt}}=0$ 。 從上面的結果我們看到： ${\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$代表理想流體的動能密度${{T}_{m}}$ ， ${\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$代表引力能密度${{T}_{g}}$ ，這時我們看到總能量密度是 $\varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}$，引力能貢獻的是負能。當然，如果將相互作用能歸為理想流體的能量，則引力能貢獻的是正能，數值仍然是${{T}_{g}}$ 。 返回