三對角矩陣算法 （英語：tridiagonal matrix algorithm ），又稱為托馬斯算法 （Thomas algorithm ，名稱源於英國數學家盧埃林·托馬斯 數值線性代數 中的一種算法，通過簡化形式的高斯消元法 求解三對角矩陣 。包含n 個未知數的三對角方程組可以寫成
a
i
x
i
−
1
+
b
i
x
i
+
c
i
x
i
+
1
=
d
i
,
{\displaystyle a_{i}x_{i-1}+b_{i}x_{i}+c_{i}x_{i+1}=d_{i},\,\!}
其中
a
1
=
0
{\displaystyle a_{1}=0\,}
c
n
=
0
{\displaystyle c_{n}=0\,}
[
b
1
c
1
0
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
⋱
⋱
⋱
c
n
−
1
0
a
n
b
n
]
[
x
1
x
2
x
3
⋮
x
n
]
=
[
d
1
d
2
d
3
⋮
d
n
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{b_{1}}&{c_{1}}&{}&{}&{0}\\{a_{2}}&{b_{2}}&{c_{2}}&{}&{}\\{}&{a_{3}}&{b_{3}}&\ddots &{}\\{}&{}&\ddots &\ddots &{c_{n-1}}\\{0}&{}&{}&{a_{n}}&{b_{n}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{x_{1}}\\{x_{2}}\\{x_{3}}\\\vdots \\{x_{n}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{d_{1}}\\{d_{2}}\\{d_{3}}\\\vdots \\{d_{n}}\\\end{bmatrix}}.}
高斯消元法在求解一般線性方程組時需要
O
(
n
3
)
{\displaystyle O(n^{3})}
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
三對角矩陣算法可分為如下兩步進行。第一步求解系數
c
i
′
{\displaystyle c_{i}'}
d
i
′
{\displaystyle d_{i}'}
c
i
′
=
{
c
i
b
i
;
i
=
1
c
i
b
i
−
a
i
c
i
−
1
′
;
i
=
2
,
3
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle c'_{i}={\begin{cases}{\begin{array}{lcl}{\cfrac {c_{i}}{b_{i}}}&;&i=1\\{\cfrac {c_{i}}{b_{i}-a_{i}c'_{i-1}}}&;&i=2,3,\dots ,n-1\\\end{array}}\end{cases}}\,}
以及
d
i
′
=
{
d
i
b
i
;
i
=
1
d
i
−
a
i
d
i
−
1
′
b
i
−
a
i
c
i
−
1
′
;
i
=
2
,
3
,
…
,
n
.
{\displaystyle d'_{i}={\begin{cases}{\begin{array}{lcl}{\cfrac {d_{i}}{b_{i}}}&;&i=1\\{\cfrac {d_{i}-a_{i}d'_{i-1}}{b_{i}-a_{i}c'_{i-1}}}&;&i=2,3,\dots ,n.\\\end{array}}\end{cases}}\,}
第二步通過回代得到最終結果：
x
n
=
d
n
′
{\displaystyle x_{n}=d'_{n}\,}
x
i
=
d
i
′
−
c
i
′
x
i
+
1
;
i
=
n
−
1
,
n
−
2
,
…
,
1.
{\displaystyle x_{i}=d'_{i}-c'_{i}x_{i+1}\qquad ;\ i=n-1,n-2,\ldots ,1.}
Conte, S.D., and deBoor, C. Elementary Numerical Analysis. McGraw-Hill, New York. 1972. ISBN 0070124469 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP. Section 2.4 . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd. New York: Cambridge University Press. 2007 [2015-02-13 ] . ISBN 978-0-521-88068-8存檔 於2016-03-04）. 
