上極限和下極限

上極限和下極限的示意圖。數列 x_n 為藍色。兩個紅色虛線曲線逼近數列 x_n 的上極限和下極限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收斂

在微積分學中，上極限和下極限（英語：Limit superior and limit inferior）是指數列極限的上極限和下極限，可以大致想像為數列極限的上下界。舉例來說，數列 $\{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 的上極限為 1，下極限為 -1。 函數的上極限和下極限可以用類似方式考慮。。集合的上極限和下極限分別是這個集合的極限點的上確界和下確界。

定義

序列$(x_{n})$的上極限定義是

$\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$；

或者

$\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)$。

同樣的，序列$x_{n}$的下極限定義是

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$；

或者

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)$。

這些定義在任意的偏序集都適用，只需要上確界和下確界存在。 在完全格裏，上確界和下確界總是存在，所以其中的序列一定有上極限和下極限。

每當$\liminf x_{n}$和$\limsup x_{n}$都存在，那麼

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}$。

上極限和下極限也記為$\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}$和$\varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$。

實數數列

實數集 R 的數列對微積分很重要。R 不是完備格，但可以加入正負無窮以得到完備全序集 $[-\infty ,+\infty ]$，形成完備格。那麼在 $[-\infty ,+\infty ]$ 中數列 $(x_{n})$ 收斂若且唯若 $\liminf x_{n}=\limsup x_{n}$，而這時 $\lim x_{n}$ 等於上面的共同值。

若實數數列 $(x_{n})$ 的上極限為實數，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 $\epsilon$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\geq N$，都有 $x_{n}<a+\epsilon$。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_{n})_{n\geq N}$ 的上界。

若實數數列 $(x_{n})$ 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 $\epsilon$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\geq N$，都有 $x_{n}>b-\epsilon$。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_{n})_{n\geq N}$的下界。

設 $(x_{n})$ 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 $\lfloor a\rfloor$ 也符合上述條件，故此 a 必是整數。在條件中取 $\epsilon <1$，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 $n\geq N$，都有 $x_{n}\leq a$。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 $x_{n}=a$。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 $x_{n}=b$。

若 $I=\liminf x_{n}$ 和 $S=\limsup x_{n}$ ，那麼區間 $[I,S]$ 不一定包含任何的 $x_{n}$，但是輕微擴大了的 [I-ε,S+ε] 對任意小的ε > 0都會包含除了有限項外所有的 x_n。區間 [I, S] 是適合這個性質的最小閉區間。

例子

• 設$x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$，則$\liminf x_{n}=-1$，$\limsup x_{n}=1$。閉區間[-1, 1]中不包含任何$x_{n}$。
• 考慮數列$x_{n}=\sin \!n$。應用π的無理數性質，可以證明$\liminf x_{n}=-1$和$\limsup x_{n}=+1$。

• 一個數論例子是

$\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})$

其中${p_{n}}$是第$n$個素數。

集的序列

集合X的冪集P(X)是完備格。對於P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下極限也有用處。

若$X_{n}$是這樣的序列，那麼X的元素a屬於$\liminf X_{n}$，若且唯若存在自然數$n_{0}$使得對於所有$n>n_{0}$，a在$X_{n}$裏。元素a屬於$\limsup X_{n}$，若且唯若對所有自然數$n_{0}$，都存在一個指數$n>n_{0}$使得a在$X_{n}$裏。換句話說，$\limsup X_{n}$包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有無限多個n，使得它在集合$X_{n}$裏；而$\liminf X_{n}$包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有除了有限多個外的所有n，使得它在$X_{n}$裏。

以集合論的標準語言來說，一個集合序列的下確界是這些集合的可數交，也就是包含在所有集合裏的最大集合：

$\inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}$。

令$I_{n}$為自$X_{n}$起的集合的下確界。那麼序列$I_{n}$非遞減，因為$I_{n}\subset I_{n+1}$。所以，第1至n個下確界的併集就是第n個下確界。下極限就是這序列的極限：

$\liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)$。

上極限可以相反方式定義。一個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合，也就是它們的可數並：

$\sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}$。

上極限是這個非遞增的上確界序列的可數交（其中每個上確界都包含在前一個裏面）。

$\limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)$。

例子或應用可見波萊爾－坎泰利引理，柯西-阿達馬公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

引用

• Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 

• González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.