伴隨叢

在數學中，伴隨叢（adjoint bundle）是一個自然相配於任何主叢的向量叢。伴隨叢的纖維帶有李代數結構使得伴隨叢成為一個代數叢。伴隨叢在聯絡理論以及規範理論中都有重要的應用。

形式定義

設 G 是一個李群，李代數為 ${\mathfrak {g}}$，並設 P 是光滑流形 M 上一個主 G 叢。令

$\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})\subset \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})$

是 G 的伴隨表示。P 的伴隨叢是配叢

$\mathrm {Ad} _{P}=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}.$

伴隨叢通常也記做 ${\mathfrak {g}}_{P}$。具體地，伴隨叢的元素是二元組 [p,x] 的等價類，其中 p ∈ P 與 x ∈ ${\mathfrak {g}}$ 使得

$[p\cdot g,x]=[p,\mathrm {Ad} _{g}(x)]$

對所有 g ∈ G。因為伴隨叢的結構群由李代數的自同構組成，纖維自然帶有一個李代數結構使得伴隨叢成為 M 上一個李代數叢。

性質

M 上取值於 Ad_P 的微分形式一一對應於 P 上水平 G-等變李代數值形式。一個基本例子是 P 上任何聯絡的曲率可以視為 M 上取值於 AD_P 的 2-形式。

伴隨叢截面的空間自然是一個（無窮維）李代數。它可以視為 P 的規範變換無窮維李群的李代數，它能想像為叢 P ×_Ψ G 的截面，這裏 Ψ 是 G 在自身上的共軛作用。