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克萊布希-高登係數

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量子力學中,克萊布希-高登係數Clebsch–Gordan coefficients,簡稱 CG 係數,又稱向量耦合係數等)是兩個角動量耦合時,它們的本徵函數的組合係數。

從數學的角度,克萊布希-高登係數出現在緊李群的表示論中,它研究的是兩個不可約表示張量積如何分解成不可約表示的直和

克萊布希-高登係數因阿爾弗雷德·克萊布什保羅·哥爾丹而得名。

記號

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在本文中,在不引起混淆的情況下,省略算符上的尖號。用粗體來表示向量(算符),用非粗體表示純量(算符)。

角動量耦合的一般理論

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本文的討論從角動量的一般量子理論出發,以角動量算符的對易關係為基礎,不涉及角動量算符在某個具體表象下的表示[1]。相關內容可參見角動量算符對易關係一文。 給定了 j 之後,本徵函數組

張開成一個 2j+1 維的函數空間。

現在給定兩個量子數 j1j2,則其本徵函數組張開的空間分別有 2j1+1 維 與 2j2+1 維。現考慮這兩個函數空間的張量積

顯然有

下面為簡便起見,定義新的記號

一般地,若 f, g 分別是這兩個空間裏的算符,則在積空間上可以定義下列算符:

另一方面,定義在這兩個空間上的算符可以自然地嵌入到積空間中,只需取

其中 1 表示恆等操作(算符)。

在這樣的定義下,兩個角動量算符的的耦合表達為:

容易驗證這樣定義的 j 滿足角動量的基本對易關係,因此是一個角動量算符,稱為總角動量算符。

根據角動量的一般理論,總角動量算符也有自己的本徵函數組,它可以用積空間裏的基來表示

這裏的線性組合係數

就被稱為克萊布希-高登係數。在正交歸一性的要求下,克萊布希-高登係數仍然具有相位不確定性。本文中取 Condon-Shortle 慣例,使所有克萊布希-高登係數為實數。

耦合表象中量子數的取值

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上式兩邊取矩陣元,就得到:

故在克萊布希-高登係數的表達式中可以省略 m 的值。

下面考慮耦合表象中量子數 j 的取值,根據上式,有

j 最大的可能取值是 j1j2 的和,且它只出現一次。此時

考慮下一個可能的 j,顯然第二大的 m=mmax-1,它可以通過兩種方式組合而來,

它們張開成一個二維的空間,但 j=jmax 的本徵函數組裏面已經出現過 m=jmax-1,這裏佔用了一維,因此下一個可能的 j 只能是 jmax-1,它同樣只出現一次。

這樣分析下去,就會知道 j 的所有可能取值只能是

其中每個 j 恰好出現一次,且

但積空間的維數應該等於兩個空間維數之積,即

故有

一個例子

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為例[2]

對任意一個算符 ,本節中的矩陣元表示

的值。

計算最後一個矩陣的本徵值和本徵向量,得到

於是可知克萊布希-高登係數為:

m=1 j=



1
1/2, 1/2
m=0 j=



m1, m2=
1 0
1/2, -1/2
-1/2, 1/2
m=-1 j=



m1, m2=
1
-1/2, -1/2

從上面的例子可以看到,對於一般的情況,用矩陣來求克萊布希-高登係數將是十分繁瑣的。一般可以採用下面的 Racah 表達式計算,更多的情況是直接查表。

Racah 表達式

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Racah 用代數方法得出了克萊布希-高登係數的有限級數表達式[3]

其中, ν 的求和限制在使得所有的階乘因子中的數非負的範圍內。

對稱性

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克萊布希-高登係數有下列的對稱性[1]

與維格納 3-j 符號的關係

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克萊布希-高登係數與維格納 3-j 符號有下列關係[4]

後者可以用於計算下列形式的球諧函數積分[4]

由球諧函數的正交歸一性,上面的結果也可以用來對球諧函數作展開。

參考

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  1. ^ 1.0 1.1 曾謹言. 10. 量子力学卷 I (第四版). 科學出版社. [2011]. ISBN 9787030181398. 
  2. ^ William O. Straub. EFFICIENT COMPUTATION OF CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS (PDF). [2014-09-09]. (原始內容存檔 (PDF)於2019-08-19). 
  3. ^ Giulio Racah. Theory of Complex Spectra. II. Phys. Rev.: 438. doi:10.1103/PhysRev.62.438. 
  4. ^ 4.0 4.1 Maximon, Leonard C., 3j,6j,9j Symbols, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 

參見

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外部連結

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