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卡塔蘭常數

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卡塔蘭常數
識別
符號
位數數列編號OEISA006752
性質
定義
表示方式
0.915965594
二進制0.111010100111110010111000
八進制0.724762704764023272042441
十進制0.915965594177219015054603
十六進制0.EA7CB89F409AE845215822E3

卡塔蘭常數 G,是一個偶爾出現在組合數學中的常數,定義為:

其中β是狄利克雷β函數英語Dirichlet_beta_function。它的值大約為:[1]

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前還不知道G有理數還是無理數

積分恆等式

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一些恆等式包括:

還有

其中是第一類完全橢圓積分

應用

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G出現在組合數學中,也出現在第二多伽瑪函數(也稱為三伽瑪函數)的值中。

Simon Plouffe給出了無窮多個含有三伽瑪函數、和卡塔蘭常數的恆等式。

快速收斂級數

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以下兩個級數收斂得很快,可以用於計算卡塔蘭常數的值:

以及

已知的位數

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已知的位數
日期 位數 計算者
2009年4月16日 31,026,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2009年1月31日 15,510,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2008年8月 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
2006年10月 5,000,000,000 Shigeru Kondo[4]
2002年 201,000,000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年 100,000,500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日 12,500,000 Xavier Gourdon
1997年 3,379,957 Patrick Demichel
1996年 1,500,000 Thomas Papanikolaou
1996年9月29日 300,000 Thomas Papanikolaou
1996年8月14日 100,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年 50,000 Greg J. Fee
1990年 20,000 Greg J. Fee
1913年 32 James W. L. Glaisher
1877年 20 James W. L. Glaisher

參考文獻

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  1. ^ Sconosciuto. Catalan's Constant to 1,500,000 Places. CAIMAN. (原始內容存檔於2009-09-24). 
  2. ^ 2.0 2.1 Large Computations. [2009-08-17]. (原始內容存檔於2009-12-09). 
  3. ^ Constants and Records of Computation. [2009-08-17]. (原始內容存檔於2011-01-15). 
  4. ^ Shigeru Kondo的网站. [2008-07-08]. (原始內容存檔於2008-02-11).