疊 (數學)

疊（Stack）或2層（2-sheaf）是在範疇而非集合上取值的層。疊用於形式化下降理論的一些主要構造，以及在不存在精細模空間時構造精細模疊。

下降理論關注的是同構、相容幾何對象（如拓撲空間上的向量叢）可在拓撲基的限制之下「粘合在一起」的情形的推廣。在更一般的情景中，限制推廣為拉回；纖維範疇是討論這種粘合的可能性的良好框架。疊的直觀含義是「所有粘合都有效」的纖維範疇。要說明粘合，就要定義能考慮粘合的覆蓋；事實證明，描述覆蓋的通用語言就是格羅滕迪克拓撲。因此，形式化地說，疊是另一個基範疇上的纖維範疇，前者具備格羅滕迪克拓撲，後者滿足的公理確保一部分粘合對格羅滕迪克拓撲的存在性與唯一性。

概述

疊是代數疊（也稱作阿廷疊）和德利涅-芒福德疊的基礎結構，推廣了概形與代數空間，十分有助於模空間研究。其包含關係是：

概形 ⊆ 代數空間 ⊆ 德利涅–芒福德疊 ⊆ 代數疊（阿廷疊） ⊆ 疊。

Edidin (2003)、Fantechi (2001)簡要介紹了疊，Gómez (2001)、Olsson (2007)、Vistoli (2005)做了更詳細的介紹，Laumon & Moret-Bailly (2000)描述了更高級的理論。

動機與歷史

La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certaines structures (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher.

格羅滕迪克給塞爾的信，1959年11月5日。

疊概念源於Grothendieck (1959)對有效下降數據的定義。 格羅滕迪克在1959年給塞爾的一封信中指出，構建良好模空間的一個基本障礙是自同構的存在。若某問題的模空間由於有自同構而不存在，那麼仍有可能構造一個模疊。

Mumford (1965)在疊有正式定義之前就研究了橢圓曲線的模疊的皮卡第群。第一個疊的定義見於Giraud （1966, 1971），「疊」（stack）由Deligne & Mumford (1969)引入，取代原法語的champ「場、域」。論文中，他們還引入了德利涅–芒福德疊,，他們稱之為「代數疊」，不過這個術語現在一般指 Artin （1974）提出的阿廷疊。

在用群作用定義概形之商時，可以發現概形與商的理想屬性往往不可能共存。例如，若幾個點有非平凡的穩定器，那麼範疇商不會在概形中，而會作為疊存在。

同樣地，曲線、向量叢及其他幾何對象的模空間通常最好定義為疊而非概形。模空間的構造一般是先構造能參數化問題對象的大空間，再用群作用取商，以考慮具有自同構的對象，它們被重複計算了。

定義

抽象疊

有範疇c及到範疇C的函子，若對C中任意態射$F:X\to Y$、c中任意對象y（在函子下都有像Y）都有y對F的回拉$f:x\to y$，則函子與範疇c統稱為C上的纖維範疇。這意味着，具有像F的態射使任意像為$G=F\circ H$的態射$g:z\to y$可通過c中的唯一態射$h:z\to x$分解為$g=f\circ h$，使函子從h映射到H。元素$x=F^{*}y$稱作y沿F的拉回，在規範同構意義上是唯一的。

若範疇c在C上纖維化，且對任意U、C的對象以及c中像為U的對象x、y，從上範疇C/U到集合的函子，取$F:\ V\to U$到${\rm {Hom}}(F*x,\ F*y)$是層，則範疇c稱作前疊。這一術語與層理論中的並不一致：前疊是分離的前層的類似物，而非前層。有人認為，這是疊而非前疊的性質。 若範疇c是C上的前疊，且每個下降數據（descent datum）都有效，則稱範疇c是範疇C上具有格羅滕迪克拓撲的疊。下降數據大致包括：C中對象V被一族V_i覆蓋，纖維元素x_i在V_i上，且x_i、x_j限制間的態射f_ji到達$V_{ij}=V_{i}\times _{V}V_{j}$，並滿足相容條件$f_{ki}=f_{kj}f_{ji}$。若元素$x_{i}$本質上是元素x的拉回，且x的像為V，則稱下降數據有效。 若疊在廣群也纖維化，即其纖維（C的對象的逆像）是廣群，則稱之為廣群疊或 (2,1)層 。有人用「疊」指更具限制性的廣群疊。

代數疊

主條目：代數疊

代數疊或阿廷疊是廣群X中、fppf址上的疊，使X的對角映射是可表示的，且存在從某概形（與疊相關聯）到X的光滑滿射。若對從某概形（與疊相關聯）到X的每個態射$S\rightarrow X$，纖維積$Y\times _{X}S$同構於（與疊相關聯的）代數空間，則稱疊的態射$Y\rightarrow X$是可表示的。疊的纖維積由一般的泛性質定義，並將圖交換的要求改為2交換。 對角可表示性背後的動機是：對角態射$\Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$是可表示的，若且唯若對代數空間任意一對態射$X,Y\to {\mathfrak {X}}$，其纖維積$X\times _{\mathfrak {X}}Y$可表示。

德利涅–芒福德疊是代數疊X，使概形到X的平展滿射存在。粗略地說，德利涅-芒福德疊可看作是對象沒有無窮小自同構的代數疊。

代數疊的局部結構

自代數疊誕生以來，人們就期望它們是形式為$[{\text{Spec}}(A)/G]$的局部商疊，其中$G$是線性約化代數群。最近證明了這一點給定在代數閉域k上有限類的擬分離的局部代數疊${\mathfrak {X}}$，其穩定子為仿射，且$x\in {\mathfrak {X}}(k)$是光滑閉點，有線性約化穩定子群$G_{x}$，其中存在GIT商$(U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)$的平展覆蓋，當中$N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }$，使得圖

${\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}$

是笛卡爾的，並存在平展態射

$f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)$

在$w$、$x$處引起穩定子群的同構。

例子

基本例子

• 從具有格羅滕迪克拓撲的範疇C出發的每個層${\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets$可規範地轉變為疊。對於對象$X\in {\text{Ob}}(C)$，而非集合${\mathcal {F}}(X)$，有以${\mathcal {F}}(X)$的元素為對象的廣群，箭頭為恆等態射。
• 更具體地說，令$h$為反變函子

$h:(Sch/S)^{op}\to Sets$

則它決定了下面的範疇$H$

1. 對象是一對$(X\to S,x)$，包含概形$X\in (Sch/S)^{op}$與元素$x\in h(X)$
2. 態射$(X\to S,x)\to (Y\to S,y)$包含態射$\phi :X\to Y\in (Sch/S)$使得$h(\phi )(y)=x$。

通過遺忘函子$p:H\to (Sch/S)$，範疇H是$(Sch/S)$上的纖維範疇。例如。若X是$(Sch/S)$中的概形，則它就決定了反變函子$h=\operatorname {Hom} (-,X)$，對應的纖維範疇就是與X相關的疊。疊（或前疊）可視為這種構造的變體的結果。事實上，任何具有准緊對角的概形$X$都是與概形X相關聯的代數疊。

對象的疊

• 群疊。
• 向量叢的模疊：向量叢$V\to S$的範疇是拓撲空間範疇S上的疊。$V\to S$到$W\to T$的態射包含$S\to T$、$V\to W$的連續映射（在纖維上線性），這樣有明顯的平方交換。之所以說這是纖維範疇，是因為可在拓撲空間的連續映射上取向量叢的回拉；而之所以說下降數據是有效的，是因為可通過粘合開覆蓋的元素上的向量叢，以構造空間上的向量叢。
• 概形上准相干層的疊（關於fpqc拓撲和更弱的拓撲）
• 基概形上仿射概形的疊（同樣關於fpqc拓撲和更弱的拓撲）

疊構造

疊商

若$X$是概形$(Sch/S)$、G是作用於X的光滑仿射群概形，則有商代數疊$[X/G]$，將概形$Y\to S$帶到S-概形Y上的G扭子的廣群，當中G等變映射到X。明確地說，給定具有G作用的空間X，就形成疊$[X/G]$，（直觀地說）其將空間Y送到回拉圖

$[X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}$

的廣群，其中$\Phi$是空間的G等變態射，$Z\to Y$是主G叢。此範疇中的態射只是圖的態射，右側箭頭相等，左側箭頭為主G叢的態射。

分類疊

X為點是特殊情形給出了光滑仿射群概形G的分類疊BG：${\textbf {B}}G:=[pt/G].$這樣命名是因為範疇$\mathbf {B} G(Y)$（Y上的纖維）正是Y上主G叢的範疇$\operatorname {Bun} _{G}(Y)$。

注意$\operatorname {Bun} _{G}(Y)$本身可視作疊，即Y上主G叢的模疊。 這個構造的一個重要子例是$\mathbf {B} GL_{n}$，其是主$GL_{n}$叢的模疊。由於主$GL_{n}$叢的數據等同於n秩向量叢的數據，這與n秩向量叢$Vect_{n}$的模疊同構。

線叢的模疊

線叢的模疊是$B\mathbb {G} _{m}$，因為每個線叢都與一個主$\mathbb {G} _{m}$叢規範同構。事實上，給定概形S上的線叢L，相對的spec

${\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee }))\to S$

給出了一個幾何線叢。去掉零段的像，就得到了主$\mathbb {G} _{m}$叢。反過來，可以從表示$id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})$重建相關聯的線叢。

束（Gerbe）

束（Gerbe）是廣群中的疊，總有非空範疇。例如對群G，給每個概形分配概形上主G叢的廣群的平凡束$BG$。

相對spec & proj

若A是概形S上的代數疊X中的准相干代數層，則有疊Spec(A)，其推廣了交換環A的譜Spec(A)的構造。Spec(A)的對象由S概形T、$X(T)$的對象x、從$x^{*}(A)$到T的坐標環$O(T)$的代數層的態射給出。

若A是概形S上的代數疊X中的分次代數的准相干層，則有疊Proj(A)，其推廣了分次環A的射影概形Proj(A)的構造。

模疊

曲線的模

• Mumford (1965)研究了橢圓曲線的模疊M_1,1，並證明其皮卡第群是12階循環群。對複數上的橢圓曲線，對應的疊相似於上半平面對模群作用的商。
• 代數曲線的模空間${\mathcal {M}}_{g}$定義為給定虧格g的光滑曲線的普遍族，並不作為代數簇出現，因為有些曲線允許非平凡自同構。但有模疊${\mathcal {M}}_{g}$，可以很好代替不存在的光滑虧格g曲線的精細模空間。更一般地說，有n個標記點的虧格『』g曲線的模疊${\mathcal {M}}_{g,n}$。一般來說它是代數疊，對$g\geq 2$或$g=1,n\geq 1$或$g=0,n\geq 3$（即當曲線的自同構群為有限群時）是德利涅-芒福德疊。這一模疊有一個完備化，包含穩定曲線（給定g、n）的模疊，其在Spec Z上是正規（proper）的。例如，${\mathcal {M}}_{0}$是射影一般線性群的分類疊$B{\text{PGL}}(2)$（定義${\mathcal {M}}_{1}$時必須用代數空間而非概形來構造） 。

孔采維奇模空間

另一類得到廣泛研究的模空間是孔采維奇模空間，其參數化了虧格固定的曲線與像反映固定上同調類的空間X之間的固定映射的空間。這些模空間表示為

${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )$

並可能有不受控制的行為，如成為分量的維數不相等的可約疊。例如，模疊

${\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])$

有由開子集$U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))$參數化的光滑曲線。在模空間邊界上，曲線可能退化為可約曲線，存在參數化可約曲線的子疊，其0虧格分量和1虧格分量交於一點，映射將1虧格曲線送到一點。由於所有這樣的1虧格曲線都由U參數化，且曲線在1虧格曲線的何處相交又有1維選擇，因此邊界分量的維度為10。

其他模疊

• 皮卡德疊推廣了皮卡德簇。
• 形式化群法則的模疊分類了形式化群法則。
• 諸如有限射影空間、形式概形之類的ind概形是疊。
• F-層的模疊用於幾何朗蘭茲綱領。

幾何疊

加權射影疊

構建加權射影空間要取某$\mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}$對$\mathbb {G} _{m}$作用的商簇。特別地，作用將元組

$g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})$

而此作用的商給出加權射影空間$\mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})$。由於這可看做是疊商，加權射影疊是

${\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]$

取線叢$f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))$中加權多項式的趨零軌道，可得疊加權射影簇。

疊曲線

疊曲線或軌線（orbicurve）可通過取曲線態射對一般點上的覆蓋的單值群的疊商來構造。例如，取（通常是平展的）射影態射

${\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])$

域對$\mu _{5}$的疊商給出帶疊點的$\mathbb {P} ^{1}$，其在$x/y$表的第5個單位根處具有穩定群$\mathbb {Z} /5$。這是因為這些點是覆蓋的分歧點。

非仿射疊

非仿射疊的例子如有兩個疊原點的半線。其可構造為$[\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]$的兩個包含的上極限。

代數疊上的准相干層

在代數疊上可構造一個準相干層範疇，類似於概形上的准相干層範疇。

准相干層大致是指局部看起來像環上的模層。第一個問題是明確「局部」：這涉及格羅滕迪克拓撲的選擇，有許多選擇，都有不能讓人完全滿意的問題。格羅滕迪克拓撲應足夠強大，使疊在其中局部仿射：概形在扎里斯基拓撲中局部仿射，因此它對概形來說是好選擇。塞爾發現代數空間和德利涅-芒福德疊在平展拓撲中是局部仿射的，因此通常用平展拓撲來處理它們，而代數疊在光滑拓撲中是局部仿射的，因此這時可用光滑拓撲。對於普通的代數疊，平展拓撲沒有足夠的開集：如若G是光滑連通群，則分類疊BG的唯一平展覆蓋就是各份BG的聯合，不足以給出正確的准相干層理論。

一般不把光滑拓撲用於代數疊，而是用其修正，即光滑平展拓撲（Lis-Et拓撲），具有與光滑拓撲相同的開集，但開覆蓋由平展給出，而非光滑映射。這通常似乎會導致一個等價的准相干層範疇，但更易使用：例如，它更容易與代數空間上的平展拓撲相比較。光滑平展拓撲有個微妙的技術問題：疊之間的態射一般不會給出對應拓撲斯之間的態射。（問題在於，雖然可據拓撲斯的幾何態射的需要，構造一對伴隨函子f_*, f*，但f*在一般情況下並不精確。這個問題在論文和書籍中造成了很多錯誤。）這意味着，在疊態射下構造准相干層的拉回需要額外努力。

用更精細的拓撲也是可能的。大多數合理的「足夠大」的格羅滕迪克拓撲似乎都能引出等價的准相干層範疇，但拓撲越大就越難處理，所以只要有夠多的開集，人們會更傾向於用較小的拓撲。例如，大fppf拓撲與光滑平展拓撲引出的准相干層範疇基本相同，但有個微妙的問題：拓撲中，准相干層到$O_{X}$模的自然嵌入並不精確（一般不保核）。

其他種類的疊

微分疊與拓撲疊的定義與代數疊類似，只是仿射概形的底層範疇換成了光滑流形或拓撲空間。

更一般地，可定義n層或n-1疊，大致是一種在n-1個範疇上取值的疊。有幾種不等價的方法可以做到這一點。1層與層相同，2層與疊相同，稱作高階疊。

一個非常相似的推廣是在非離散對象（即空間實際上是代數拓撲中的譜）上發展的疊理論，得到的類疊對象被稱為派生疊（或譜疊）。雅各·盧里正在撰寫的《譜代數幾何》研究了一種推廣，他稱之為譜德利涅–芒福德疊，根據定義是成環∞拓撲斯，在$\mathbb {E} _{\infty }$環的平展譜上是局部平展的（這概念包含了派生概形的概念，至少在特徵為0時如此）。

集合論問題

疊理論的通常基礎存在一些小的集合論問題，因為疊常被定義為集合範疇的某些函子，因此不是集合。有幾種方法可以解決這個問題：

• 使用格羅滕迪克全集：疊是某固定格羅滕迪克全集的類之間的函子，於是類與疊是更大的格羅滕迪克全集中的集合。這種方法的缺點是，必須假設存在足夠多的格羅滕迪克全集，這本質上是個大基數公理。
• 將疊定義為秩足夠大的集合間的函子，並仔細記錄所用集合的秩。它的問題是，涉及一些額外的、令人厭煩的標記。
• 利用集合論的反射原理，即可以找到ZFC公理的任何有限片段的集合模型，以證明能自動找到與所有集合的全集足夠接近的集合。
• 也可以完全忽略這個問題。這是許多學者採用的做法。

另見

• 代數疊
• 德利涅–芒福德疊

參考文獻

教學

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• Goméz, Tomás, Algebraic stacks, 1999, Bibcode:1999math.....11199G, arXiv:math/9911199   is an expository article describing the basics of stacks with examples.
• Edidin, Dan, What is... a Stack? (PDF), Notices of the AMS, 2003, 50 (4): 458–459 [2023-11-27], （原始內容存檔 (PDF)於2023-01-29） 

文獻綜述

• https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參考文獻

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• Olsson, Martin, Algebraic spaces and stacks, Colloquium Publications 62, American Mathematical Society, 2016, ISBN 978-1470427986 
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閱讀更多

• Morava, Jack. Theories of anything. 2012. arXiv:1202.0684  [math.CT]. 

外部連結

• nLab的stack條目
• nLab的descent條目
• de Jong, Aise Johan, Stacks Project, [2023-11-27], （原始內容存檔於2023-07-13） 
• Fulton, William, What is a stack?, MSRI video lecture and notes, [2023-11-27], （原始內容存檔於2010-08-28） 
• Toën, Bertrand, Cours de Master 2 : Champs algébriques (2006-2007), 2007 [2023-11-27], （原始內容存檔於2012-10-06） 
• "Good introductory references on algebraic stacks?"