可逆層

在代數幾何學中, 可逆層是在賦環空間X上的一個凝聚層S，使得 S關於O_X-模上的張量積存在一個逆元素T。這是拓撲意義上的線叢在代數幾何學中的類比。可逆層也被等價定義為秩為1的局部自由層。可逆層在研究代數簇時起到了重要的作用。

定義

可逆層被定義為在賦環空間 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 上的一個凝聚層S，使得 S關於O_X-模上的張量積存在一個逆元素T 。這相當於說，我們有

S\otimes T\ \cong {\mathcal {O}}_{X}

這裏，空間X的環層 ${\mathcal {O}}_{X}$ 是張量積運算下的單位元。可逆層的重要例子來源於對代數幾何學和複流形的研究。在這些研究中，可逆層等同於線叢。

上述可逆層的定義採用概形語言敘述。這個定義可被替換為可逆層是「秩為1的局部自由層」。這意味着, 在X上張量逆的存在等價於S 是某個交換環R上、具有秩為1的模的形式的層。更普遍地說，當X是仿射概形Spec(R)時，可逆層由R上的秩為1的投射模組成。

皮卡群

一般來說,X上的可逆層的同構類關於張量積構成了一個阿貝爾群，被稱作皮卡群(Picard Group)，記作 $\mathrm {Pic} (X)\$ ，其中Pic 代表皮卡函子。皮卡群推廣了理想類群的概念。皮卡群的構造融合了代數曲線上雅可比簇的理論在內，於是在代數幾何學中，對皮卡函子的研究成為了核心問題之一。

參考資料

Section 0.5.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.

定義

皮卡群

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