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孤立奇異點

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假設X是一個代數簇,P∈X是X上的一個奇異點,如果存在一個包含P的開鄰域(又稱開集)U,使得U中不在包含其他的奇異點, 那麼就稱P是孤立奇異點

亞純函數中,所有奇異點都是孤立的;但如果一個函數的所有奇異點都是孤立的,並不能保證它是亞純函數。複分析中許多有用的工具,例如洛朗展開留數定理等,都需要保證相關奇異點的孤立性才能應用。

孤立奇異點分為三種:

例子

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函數處有孤立奇異點。

餘割函數在所有整數點處有孤立奇異點。

函數處有孤立奇異點,這是一個本質奇異點。

複分析中孤立奇異點與洛朗展開的關係

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可去奇異點、極點、本性奇異點的定義

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三種孤立奇異點有許多等價定義,以下列出部分,用以說明與洛朗級數的關係。

  1. 一個孤立奇異點被稱作可去奇異點,如果
  2. 一個孤立奇異點被稱作極點,如果
  3. 一個孤立奇異點被稱作本性奇異點(又譯作本質奇異點),如果極限不存在。

洛朗級數的主要部分

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複函數在一個以點為圓心的解析的環形區域上可以展開成這樣的級數形式

其中,具有這樣的形式:。積分路徑γ是一條逆時針方向的可求長曲線,把c包圍起來,位於圓環A內。

此時,的洛朗展開式中,指數為負數的部分稱作主要部分(principal part)。

可去奇異點、極點、本性奇異點與洛朗級數的主要部分的關係

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以下可以看作可去奇異點、極點、本性奇異點又一等價定義。

  1. 假設是複函數的一個可去奇異點,則處鄰域內的洛朗級數展開式不含有主要部分。
  2. 假設是複函數的一個極點,則處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分僅含有有限項;且主要部分的項數恰等於極點的階數。
  3. 假設是複函數的一個本性奇異點,則處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分含有無窮多項。

證明

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相關例子與應用

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參見

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外部連結

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