正合函子

在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。

阿貝爾範疇間的正合函子

設 ${\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'$ 為阿貝爾範疇，$F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'$ 為加法函子。若對每個正合序列

$\cdots \longrightarrow X_{i}\longrightarrow X_{i-1}\longrightarrow \cdots$

取 $F$ 後得到的序列

$\cdots \longrightarrow F(X_{i})\longrightarrow F(X_{i-1})\longrightarrow \cdots$

仍為正合序列，則稱 $F$ 為正合函子。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列 $0\to X'\to X\to X''\to 0$，其像截去尾端零對象後 $0\to F(X')\to F(X)\to F(X'')$ 為正合序列，則稱 $F$ 是左正合函子；類似地，若 $F(X')\to F(X)\to F(X'')\to 0$ 為正合序列，則稱 $F$ 是右正合函子。正合性等價於左正合性＋右正合性。

一般範疇中的正合函子

考慮一個函子 $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}'$。

• 若${\mathcal {C}}$裏存在任意的有限射影極限，且$F$與有限射影極限交換（即：$F(\varprojlim _{i}X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}\varprojlim _{i}F(X_{i})$），則稱$F$為左正合。
• 若${\mathcal {C}}$裏存在任意的有限歸納極限，且$F$與有限歸納極限交換（即：$\varinjlim _{i}F(X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}F(\varinjlim _{i}X_{i})$），則稱$F$為右正合。
• 若上述條件同時被滿足，則稱$F$為正合。

在阿貝爾範疇中，由於任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂回歸到正合序列的定義。

例子

• 根據極限的泛性質，$\mathrm {Hom} (-,-)$函子無論對哪個變數都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。
• 設$(F,G)$是一對伴隨函子。若${\mathcal {C}}$存在任意有限歸納極限，則$F$右正合；若存在任意有限射影極限，$G$左正合。此法可建立許多函子的正合性。
• 設 $X$ 為拓撲空間，阿貝爾群數學範疇上的整體截面函子 $X\mapsto F(X)$ 是左正合函子。
• 設 $R$ 為環，$T$ 為右 $R$-模，則左 $R$-模範疇上的張量積函子 $T\otimes _{R}-$ 是右正合函子。
• 設 ${\mathcal {A}},\;{\mathcal {B}}$ 為兩個阿貝爾範疇，考慮函子範疇 ${\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}$，固定一對象 $A\in {\mathcal {A}}$，對 $A$ 的「求值」是正合函子。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490