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希羅公式

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希羅公式(英語:Heron's formula或Hero's formula),又譯希羅公式[1]。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現,並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明,原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式,因為《Metrica》是一部古代數學知識的結集,該公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。[2]

假設有一個三角形,邊長分別為,三角形的面積可由以下公式求得:

,其中

中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二題即三斜求積。「問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知為田幾何?」答曰:「三百十五頃.」其術文是:「以小斜冪併大斜冪,減中斜冪,餘半之,自乘於上;以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之,爲實,一為從隅,開平方,得積。」若以大斜記為,中斜記為,小斜記為,秦九韶的方法相當於下面的一般公式:

,其中

像其他中國古代的數學家一樣,他的方法沒有證明。根據現代數學家吳文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。

由於任何邊的多邊形都可以分割成個三角形,所以希羅公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候,不用測三角形的高,只需測兩點間的距離,就可以方便地匯出答案。

證明

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利用三角公式和代數式變形來證明

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與希羅在他的著作《Metrica》中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊的對角分別為,則餘弦定理

利用和平方差平方平方差等公式,從而有

利用畢氏定理和代數式變形來證明

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用旁心來證明

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中,

為內心,為三旁切圓。

四點共圓,並設此圓為圓

  1. 做鉛直線交,再延長,使之與圓交於點。再過做鉛直線交點。
  2. 先證明為矩形:,又(圓周角相等)。為矩形。因此,
  3. 內切圓半徑旁切圓半徑。且易知。由圓冪性質得到:。故

其他形式

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海倫公式可改寫成以冪和表示:

[註 1]
證明

海倫公式略為變形,知

多次使用平方差公式,得

等號兩邊開根號,再同除以4,得

註釋

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  1. ^ 應用實例,如外森比克不等式的證明

資料來源

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  1. ^ 香港大學教育學院母語教學教師支援中心:數學科詞彙表. [2009-07-06]. (原始內容存檔於2009-06-16). 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (編). Heron's Formula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-07-06]. (原始內容存檔於2015-09-05) (英語). 

參見

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外部連結

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