維特代數

在數學中，複維特代數（英語：Witt algebra）是黎曼球面上某些亞純向量場組成的李代數，其滿足：存在某兩個固定點，使各個向量場在該兩點以外皆處處全純。它也是圓上多項式向量場的李代數和環C [ z, z ^{− 1} ] 的導子李代數的複化。維特代數得名於Ernst Witt。

有限域上的相關的李代數，也稱為Witt代數。

複Witt代數由 Cartan (1909) 首先定義，Witt在1930 年代研究了有限域上的類比。

基礎

Witt代數的基由向量場$L_{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}$給出，其中n屬於$\mathbb {Z}$.

兩個向量場的李括號由下式給出

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.$

這個代數有一個稱為Virasoro 代數的中心擴張，它在二維共形場論和弦論中非常重要。

通過將n限制為 1,0,-1，可以得到一個子代數。在複數域，它正好是洛倫茲群SL(2,C)的代數$sl(2,\mathbb {C} )$。在實數域上，它是代數sl (2,R) = su (1,1)。反過來，su (1,1) 足以重構原代數。

有限域上的Witt代數

在p > 0 的域k上，Witt 代數被定義為環的導數的李代數

k [ z ]/ z ^p

對於− 1 ≤ m ≤ p − 2，Witt 代數由L_m展開得到。

參見

• Virasoro代數
• 海森堡代數

參考

• Élie Cartan, Les groupes de transformations continus, infinis, simples。 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).