餘割

餘割

性質
奇偶性	奇
定義域	$\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到達域	$\left\|\csc x\right\|\geq 1$
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
當x=0	∞
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
漸近線	$x=k\pi$ （ $x=180° k$ ）
根	無實根
臨界點	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （ $180° k -90°$ ）
不動點	當x軸為弧度時： ±1.11415714087193... （±63.8365018863243...°） ±2.77260470826599... （±158.858548041742...°） ±6.4391172384172... （±368.934241551242...°） ... 當x軸為角度時： ±7.5804535084227...° ±179.6811235695917...° ±360.15908484761767...° ...
k是一個整數。

餘割（Cosecant， $\csc$ ）是三角函數的一種。它的定義域不是 $k\pi$ （或 $180° k$ ，其中 $k$ 為整數）的整個實數集，值域是絕對值大於等於一的實數。它是周期函數，其最小正周期為 $2\pi$ （360°）。

餘割是三角函數的餘函數（餘弦、餘切、餘割、餘矢）之一，所以在 $2k\pi$ （ $360° k$ ）到 $2k\pi +{\frac {\pi }{2}}$ （ $360° k +90°$ ）的區間之間，函數是遞減的，另外餘割函數和正弦函數互為倒數。

在單位圓上，餘割函數位於割線上，因此將此函數命名為餘割函數。

和其他三角函數一樣，餘割函數一樣可以擴展到複數。

符號史

餘割的符號為 $\csc$ ，取自英文cosecant，其又源於拉丁文的cosecans及secans complementi。

定義

直角三角形中

直角三角形， $\angle C$ 為直角， $\angle A$ 的角度為 $\theta$ ，對於 $\angle A$ 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一個銳角 $\angle A$ 的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

\csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}

其定義與正弦函數互為倒數。

直角坐標系中

設 $\alpha$ 是平面直角坐標系xOy中的一個象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的終邊上一點， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是P到原點O的距離，則 $\alpha$ 的餘割定義為：

\csc \alpha ={\frac {r}{y}}

單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角 $\theta$ ，並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於 $\sin \theta$ 。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了 $\csc \theta ={\frac {1}{y}}$ 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。