討論:直線
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歐氏幾何中，兩點確定一條直線怎麼證？
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換言之，過兩點為什麼不能作兩條以上的直線，也不會出現一條直線也不能作的情況？
謝了。
--Whw 06:33 2006年5月19日 (UTC)
謝謝諸位幫助。
可是我看了歐幾里得幾何條目，文中所描述的第一條公理只肯定了我的問題的後半部分，卻沒有回答「過兩點為什麼不能作兩條以上的直線」呀？
- 大致是這樣的，不嚴密：
- 直綫沒有長度，不存在所謂"最短"。-- 天下第一菜 請指教
2007年6月13日 (三) 05:44 (UTC)
- 直綫沒有長度，不存在所謂"最短"。-- 天下第一菜 請指教
另外，如何證明三點確定一個平面呢？難道又是立體幾何的公理嗎？--Whw 11:27 2006年5月19日 (UTC)
- 相異三點可決定一平面用反證法就可以得證，只要引導出違反公理的結論即可。--百楽兎 15:38 2006年5月19日 (UTC)
- 事實上，這些都可以是公理，也可以是定理。這取決於你選擇哪些命題作爲公理了。根據選擇的公理不同，你的命題就會有不同的證明方法。--地球發動機（〠✆ - ✉✍） 18:18 2006年5月19日 (UTC)
- 同意地球發動機的看法。--Ross 20:34 2006年5月19日 (UTC)
- 不行吧。公理是不證自明的原則，定理是可以利用公理來證明的。把定理當做公理會違背邏輯，因為推導出的系統只是一個子系，意即還是屬於同一個架構下。--百楽兎 02:35 2006年5月20日 (UTC)
- 現代元數學認爲，沒有什麽不証自明的原則。公理系統裏面的公理只是從大量的命題中選擇出一些作爲我們推理的基礎而已。如果把定理作爲公理而取消原先的某條公理，常常會導致公理系統被減弱，這些變化在模型論裏面是主要研究的對象。參見選擇公理、連續統假設--地球發動機（〠✆ - ✉✍） 03:33 2006年5月20日 (UTC)
- 不是很了解你的意思，不過感覺我們是在講不同的兩回事。像這題，既然前提是「在歐氏幾何的架構」下，就不可能去推翻歐氏幾何所定下的公理吧。--百楽兎 06:06 2006年5月20日 (UTC)
- 簡單講，地球兄的意思就是同樣「歐氏幾何的架構」可以有不同的定義，可以挑選不同的命題作為基本公理集。所謂公理無非就是被挑選為基本假設的命題。每個體系都可以有無數的選擇，譬如，a,b,c都是這個系統中的命題，如果a等價於b等價於c,那麼公理集{x,y,a}和{x,y,b}和{x,y,c}都是導出同一體系的，但在第一種情況a就是公理，b,c是定理，而第二種，b是公理,a,c是定理--Ross 21:40 2006年5月20日 (UTC)
- 這個邏輯和我是一致的，但問題是公理a會等價於定理b或c嗎？通常定理是用到兩個以上的公理所推導出來的，所以並不等價。雖然以宏觀的角度來看，將所有的命題都視為可選擇的公理是合理的，但是如果深入研究某公理後發現該公理可拆解出幾個更基本的原則，此時該公理就降階為定理，而更基本的原則就成了同一系統中的公理。我們好像離題越來越遠了……(汗)--百楽兎 01:35 2006年5月21日 (UTC)
- 這個邏輯和我是一致的，但問題是公理a會等價於定理b或c嗎？通常定理是用到兩個以上的公理所推導出來的，所以並不等價。雖然以宏觀的角度來看，將所有的命題都視為可選擇的公理是合理的，但是如果深入研究某公理後發現該公理可拆解出幾個更基本的原則，此時該公理就降階為定理，而更基本的原則就成了同一系統中的公理。我們好像離題越來越遠了……(汗)--
- 簡單講，地球兄的意思就是同樣「歐氏幾何的架構」可以有不同的定義，可以挑選不同的命題作為基本公理集。所謂公理無非就是被挑選為基本假設的命題。每個體系都可以有無數的選擇，譬如，a,b,c都是這個系統中的命題，如果a等價於b等價於c,那麼公理集{x,y,a}和{x,y,b}和{x,y,c}都是導出同一體系的，但在第一種情況a就是公理，b,c是定理，而第二種，b是公理,a,c是定理--Ross 21:40 2006年5月20日 (UTC)
- 不是很了解你的意思，不過感覺我們是在講不同的兩回事。像這題，既然前提是「在歐氏幾何的架構」下，就不可能去推翻歐氏幾何所定下的公理吧。--
- 現代元數學認爲，沒有什麽不証自明的原則。公理系統裏面的公理只是從大量的命題中選擇出一些作爲我們推理的基礎而已。如果把定理作爲公理而取消原先的某條公理，常常會導致公理系統被減弱，這些變化在模型論裏面是主要研究的對象。參見選擇公理、連續統假設--地球發動機（〠✆ - ✉✍） 03:33 2006年5月20日 (UTC)
- 不行吧。公理是不證自明的原則，定理是可以利用公理來證明的。把定理當做公理會違背邏輯，因為推導出的系統只是一個子系，意即還是屬於同一個架構下。--
- 同意地球發動機的看法。--Ross 20:34 2006年5月19日 (UTC)
- 事實上，這些都可以是公理，也可以是定理。這取決於你選擇哪些命題作爲公理了。根據選擇的公理不同，你的命題就會有不同的證明方法。--地球發動機（〠✆ - ✉✍） 18:18 2006年5月19日 (UTC)
- 公理說"任意兩個點可以通過一條直線連接。", 這沒有錯阿,公理沒有說過"過兩點為什麼不能作兩條以上的直線"這回事...2個點只會有1條直線,沒有人說過超過2個點會怎麼怎麼的,公理說的是"兩點確定一條直線",所以你問題的"過兩點"巳經不在公理的範疇內了!--Onsf 20:13 2006年5月27日 (UTC)
- 這條公理是"過兩點有且只有一條直綫"。直綫不是綫段，他沒有端點，不可能起到"連接"的作用。另外，公理中的"過"不是指超過兩個點以上的更多點，而是有"穿過"、"通過"的意思，所謂"過兩點"完全是公理內的範疇。天下第一菜請指教 2007年6月13日 (三) 05:33 (UTC)
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