卡諾定理 (垂線)

卡諾定理以拉扎爾·卡諾命名，為垂直於三角形各邊的直線是否交於一點提供了一個充分必要條件。該定理也可被視為是畢氏定理的一般化。

定理

對於一個三角形 $ABC$ ，其三邊為 $a,b,c$ 。考慮三條垂直於各邊且交於一點的直線，若 $P_{a},P_{b},P_{c}$ 是這三條垂線在 $a,b,c$ 上的垂足，則下列關係式成立：

|AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}

該命題的逆命題同樣成立：若 $P_{a},P_{b},P_{c}$ 在邊上的位置滿足關係式，則以這三點為垂足做出的三條垂線會交於一點。因此，該關係式為垂線是否交於一點提供了一個充分必要條件。

特例

若三角形 $\triangle ABC$ 的角 $C$ 為直角，則可以將三條垂線的交點 $F$ 置於 $A$ 上。此時由於 $P_{a}=C$ 、 $P_{b}=A$ 且 $P_{c}=A$ ，可得 $|AP_{b}|=0$ 、 $|AP_{c}|=0$ 、 $|CP_{a}|=0$ 、 $|CP_{b}|=b$ 、 $|BP_{a}|=a$ 與 $|BP_{c}|=c$ ，代入卡諾定理的關係式後，即可推得畢氏定理 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。

若三條垂線皆為中垂線，則 $|AP_{c}|=|BP_{c}|$ 、 $|BP_{a}|=|CP_{a}|$ 且 $|CP_{b}|=|AP_{b}|$ ，無論三邊長度為何，上述關係式必會成立，故可推得三角形的三條中垂線必交於一點。

參考資料

Wohlgemuth, Martin. (編). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 2010: 273–276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882 （German）.
阿爾弗雷德·S·波薩門蒂; Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. New York: Dover. 1996: 85–86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.