去趨勢波動分析

在隨機過程， 混沌理論和時間序列分析中， 去趨勢波動分析（英文：Detrended Fluctuation Analysis, DFA）是一種判斷信號的統計自相似性質的方法。 它可以用於分析類似長記憶過程的時間序列（以發散的相關時間為特徵，例如冪率衰減的自相關函數）或1/f噪音。

所獲得的指數類似於Hurst指數，但去趨勢波動分析還可以應用於非平穩信號，即信號的統計量（例如平均值和方差）或動態是不固定的（隨時間變化）。 它與基於譜分析的方法有關，如自相關函數和傅里葉變換。

Peng等人於1994年發表論文提出了這種方法，至2013年該論文已獲超過2000次引用。這種方法是（一般性）波動分析的拓展，特別用於處理非平穩信號。

計算方法

給定一個受約束的時間序列$x_{t}$，其長度為$N$, 其中 $t\in \mathbb {N}$。首先對其做積分或求和，化為無約束過程$X_{t}$:

$X_{t}=\sum _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\rangle )$

其中$\langle x\rangle$代表時間序列的均值。$X_{t}$稱為累積和。這個過程會將獨立同分佈的白噪聲變換為隨機遊走。

接下來，將$X_{t}$分為不同長度的時間窗口，窗口長度記為$n$，然後在每個時間窗口內最小化平方誤差，得到局部最小二乘的擬合直線（局部趨勢）。令$Y_{t}$代表得到的擬合直線序列。接着計算與趨勢的均方根偏差，即波動，如下：

$F(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^{2}}}.$

最後，將這個去趨勢、波動分析的過程對不同的窗口大小$n$重複計算，得到$F(n)$關於$n$的雙對數坐標圖。