該積分是兩條曲線之間的面積。 作為曲面下的體積的雙重積分。該體積底部的矩形區域是積分的域，而曲面是被積的雙變數函數的圖像。 多重積分 （英語：Multiple integral ）是定積分的一類，它將定積分 擴展到多元函數（多變數 的函數 ），例如求
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
正如單變數的正函數的定積分代表函數圖像和x 軸之間區域的面積 一樣，正的雙變數函數的雙重積分 代表函數所定義的曲面和包含函數定義域 的平面之間所夾的區域的體積 。（注意同樣的體積也可以通過三變數常函數f (x , y , z ) = 1在上述曲面和平面之間的區域中的三重積分 得到。若有更多變數，則多元函數 的多重積分給出超體積 。
n 元函數f (x 1 , x 2 ,…, x n D 上的多重積分通常用嵌套的積分號按照演算的逆序標識（最左邊的積分號最後計算），後面跟着被積函數 和正常次序的積分變數 （最右邊的變數最後使用）。積分域或者對每個積分變數在每個積分號下標識，或者用一個變數標在最右邊的積分號下：
∫
…
∫
D
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
d
x
1
…
d
x
n
{\displaystyle \int \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathrm {d} x_{1}\!\ldots \mathrm {d} x_{n}}
因為不可能計算多於一個自變數的函數 的不定積分 ，「不定」多重積分是不存在的。因此所有多重積分都是「定」積分。
通常在坐標系中，多重積分都利用嵌套的累次積分 計算。而累次積分為了簡便可記為：
∫
φ
1
ψ
1
d
x
1
∫
φ
2
(
x
1
)
ψ
2
(
x
1
)
d
x
2
…
∫
φ
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
ψ
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
d
x
n
{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\psi _{1}}\,\mathrm {d} x_{1}\,\int _{\varphi _{2}(x_{1})}^{\psi _{2}(x_{1})}\,\mathrm {d} x_{2}\!\dots \int _{\varphi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})}^{\psi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})}\,f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\mathrm {d} x_{n}}
其中積分域為：
D
=
{
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
|
φ
1
≤
x
1
≤
ψ
1
,
φ
2
(
x
1
)
≤
x
2
≤
ψ
2
(
x
1
)
,
…
,
φ
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
≤
x
n
≤
ψ
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
}
{\displaystyle D=\left\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})|\varphi _{1}\leq x_{1}\leq \psi _{1},\varphi _{2}(x_{1})\leq x_{2}\leq \psi _{2}(x_{1}),\dots ,\varphi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})\leq x_{n}\leq \psi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})\right\}}
注意的是，該式一般情況下並不表示多個定積分的積，在實際計算中從最右側積分變數開始積分，其結果會作為外一層積分的被積函數。
譬如，邊長為4 × 6 × 5的長方體 的體積可以通過兩種方法得到：
通過函數f (x , y ) = 5在xy 平面中的區域D ，也就是長方體的底上的雙重積分
∬
D
5
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{\mathrm {D} }5\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
∭
1
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \iiint 1\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}
令n 為大於1的自然數。考慮所謂的半開 n維矩形 （下面簡稱矩形 ）。對於平面 ，
n
=
2
{\displaystyle n=2}
T
=
[
a
1
,
b
1
)
×
[
a
2
,
b
2
)
×
⋯
×
[
a
n
,
b
n
)
⊂
R
n
{\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}}
將每個區間[a i b i I i
C
=
I
1
×
I
2
×
⋯
×
I
n
{\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}
是T 的一個劃分 ，也即，子矩形C 是互不重疊的，而且它們聯集為T 。C 中的子矩形的直徑 按照定義是C 中最大的邊長，而T 的劃分的直徑定義成劃分中的所有子矩形的最大直徑。
令f : T → R 為定義在T 上的函數。考慮如上定義的T 的劃分
T
=
C
1
∪
C
2
∪
⋯
∪
C
m
{\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}
其中m 是正整數。如下形式的和稱為黎曼和
∑
k
=
1
m
f
(
P
k
)
m
(
C
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}
其中，對於每個k ，點P k C k C k C k
函數f 稱為黎曼可積 ，如果如下極限 存在
S
=
lim
δ
→
0
∑
k
=
1
m
f
(
P
k
)
m
(
C
k
)
{\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})}
其中極限取遍所有直徑小於δ的T 的劃分。若f 黎曼可積 ，S 稱為f 在T 上的黎曼積分
∫
T
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{T}\!f(x)\,\mathrm {d} x}
定義在任意有界n 維集合上的函數的黎曼和可以通過將函數延拓到一個半開半閉矩形上來求出，其取值在原來的定義域之外為0。然後，原來的函數的積分就定義為延展的函數在矩形區域中的積分（如果存在的話）。
下文中n 維黎曼積分簡稱多重積分 。
多重積分具有很多與單變數函數的積分一樣的性質（線性，可加性，單調性，等等）。而且，和單變數情況一樣，可以用多重積分找出函數在給定集合上的積分。具體來講，給定集合D ⊆ R n D 上的可積函數f ，f 在定義域上的平均值為
f
¯
=
1
m
(
D
)
∫
D
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,\mathrm {d} x,}
其中m （D ）是D 的測度 。
T ⊆ R 2 時，積分
ℓ
=
∬
T
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \ell =\iint _{T}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
是f 在T 上的雙重積分 ，而若T ⊆ R 3 ，積分
ℓ
=
∭
T
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}
是f 在T 上的三重積分 。
注意，按常規，雙重積分用兩個積分號，而三重積分有三個；這只是記法上方便，也是為了通過重複積分來計算多重積分（參看本條目後文）。
多重積分問題的解決在多數情況下依賴於將多重積分轉化為一系列單變數積分，而其中每個單變數積分都是直接可解的。
有時可以直接獲得積分的結果，而無需任何直接計算。
在常函數 的情況中，結果很直接：只要將常函數c 乘以測度就可以了。如果c = 1，而且是在R 2 的子集中積分，則乘積就是區域面積，而在R 3 中，它就是區域的體積。
D
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
2
≤
x
≤
4
;
3
≤
y
≤
6
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}}
f
(
x
,
y
)
=
2
{\displaystyle f(x,y)=2\,\!}
在D 上積分f ：
∫
3
6
∫
2
4
2
d
x
d
y
=
area
(
D
)
⋅
2
=
(
2
⋅
3
)
⋅
2
=
12
{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y={\mbox{area}}(D)\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12}
如果定義域存在沿着某條軸的對稱性而且函數對於那個變數是奇函數，則積分為0（因為相反的兩部分加起來為0）。
對於R n
例一:
給定
f
(
x
,
y
)
=
2
sin
(
x
)
−
3
y
3
+
5
{\displaystyle f(x,y)=2\sin(x)-3y^{3}+5}
T
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
2
+
y
2
≤
1
}
{\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}
半徑 為1的圓盤，包含邊界 ）。 利用線性性質，積分可以分解為三部分：
∬
T
(
2
sin
x
−
3
y
3
+
5
)
d
x
d
y
=
∬
T
2
sin
x
d
x
d
y
−
∬
T
3
y
3
d
x
d
y
+
∬
T
5
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{T}2\sin x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y-\iint _{T}3y^{3}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+\iint _{T}5\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
2
sin
(
x
)
{\textstyle 2\sin(x)}
3
y
3
{\textstyle 3y^{3}}
T 對於x 和y 軸都是對稱的；因此唯一有貢獻的部分是常函數5 因為其它兩個都貢獻0.例二：
考慮函數
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
exp
(
y
2
+
z
2
)
{\textstyle f(x,y,z)=x\exp(y^{2}+z^{2})}
球
T
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
4
}
.
{\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.}
該球顯然是對於三條軸都對稱，但是只要對於x 軸積分就可以看出結果是0，因為f 對於該變數是奇函數。 簡化公式基於簡單積分區域來將多重積分轉化為單變數積分的序列。它們必須從右至左計算，過程中將其它變數暫時視為常數（和偏導數 的計算類似）。
此種方法適用於滿足下述條件的任何定義域 D :
D 投影到 x 軸或 y 軸任一軸，形成一個有邊界的範圍, 以 a , b 代表邊界值。通過 a , b 兩點並與
a
b
¯
{\displaystyle {\overline {ab}}}
D 相交後的兩個端點，可以用 2 個函數
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
將 D 對 x 軸做垂直投影，函數
f
:
D
⟶
R
{\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} }
D 可以視為（定義在[a ,b ]區間上的）α(x )和β(x )之間的區域。則
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
d
x
∫
α
(
x
)
β
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y}
將 D 對y 軸做垂直投影，函數
f
:
D
⟶
R
{\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} }
D 可以視為（定義在[a ,b ]區間上的）α(y )和β(y )之間的區域。則
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
d
y
∫
α
(
y
)
β
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} y\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x}
例：可以採用簡化公式的D區域。 考慮區域：
D
=
{
(
x
,
y
)
:
x
≥
0
,
y
≤
1
,
y
≥
x
2
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}
∬
D
(
x
+
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
該區域可以沿x或者y軸分解。要採用公式，必須先找到限制D 的兩個函數和定義區間。
這個例子中，這兩個函數為：
α
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle \alpha (x)=x^{2}\,\!}
β
(
x
)
=
1
{\displaystyle \beta (x)=1\,\!}
而區間為
[
a
,
b
]
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle [a,b]=[0,1]\,\!}
應用簡化公式，得到：
∬
D
(
x
+
y
)
d
x
d
y
=
∫
0
1
d
x
∫
x
2
1
(
x
+
y
)
d
y
=
∫
0
1
d
x
[
x
y
+
y
2
2
]
x
2
1
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\mathrm {d} x\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\mathrm {d} x\ \left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}}
（首先，第二個積分將x 作為常數）。然後就是用積分的基本技術：
∫
0
1
[
x
y
+
y
2
2
]
x
2
1
d
x
=
∫
0
1
(
x
+
1
2
−
x
3
−
x
4
2
)
d
x
=
⋯
=
13
20
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)\mathrm {d} x=\cdots ={\frac {13}{20}}}
如果沿着y軸分解，可以計算
∫
0
1
d
y
∫
0
y
(
x
+
y
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {d} y\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,\mathrm {d} x}
並得到同樣的結果。
R3中可(沿xy 平面）分解區域的例子。 這些公式可以推廣到三重積分：
T 是一個可以投影到xy 平面的體，它夾在α (x ,y )和β(x ,y )兩個函數之間。那麼：
∭
T
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∬
D
d
x
d
y
∫
α
(
x
,
y
)
β
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
)
d
z
{\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{D}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,\mathrm {d} z}
（此定義和其它R 3 中的分解類似）。
積分的極限常常不易交換（區域無法分解或者公式很複雜），這時可以採用變數替換 來重寫積分，令區域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函數必須變換到新坐標系下。
例（1-a） :
函數為
f
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1
)
2
+
y
{\displaystyle f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}}
若採用替換
x
′
=
x
−
1
,
y
′
=
y
{\displaystyle x'=x-1,\ y'=y\,\!}
x
=
x
′
+
1
,
y
=
y
′
{\displaystyle x=x'+1,\ y=y'\,\!}
可以得到新函數
f
2
(
x
,
y
)
=
(
x
′
)
2
+
y
{\displaystyle f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}}
對於定義域要進行類似處理，因為原來是採用變換前的變數表達的（本例中的x 和y ）。
微分dx 和dy 要通過包含被替換的變數對於新變數的偏微分的雅可比行列式 來變換。（譬如，極坐標的微分變換）。 常用的變數替換有三種（R 2 中一種，R 3 中兩種）；但是，更普遍的變換可以用同樣的原理來發現。
從笛卡爾坐標系變換到極坐標系。 在R 2 中，若定義域有某種圓形對稱性而函數也有某種特徵，則可以採用極坐標變換（參看圖中的例子），也就是說將點P(x,y) 從笛卡爾坐標變換到相應的極坐標中。這使得定義域的形狀改變，從而簡化運算。
該變換的基本關係如下：
f
(
x
,
y
)
→
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
)
{\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi )}
例（2-a） :
函數為
f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle f(x,y)=x+y\,\!}
應用該變換得到
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
cos
ϕ
+
ρ
sin
ϕ
=
ρ
(
cos
ϕ
+
sin
ϕ
)
{\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi )}
例（2-b） :
函數為
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!}
這裏有：
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
2
(
cos
2
ϕ
+
sin
2
ϕ
)
=
ρ
2
{\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}\,\!}
這裏使用了勾股定理 （在簡化操作時很有用）。
定義域的變換是根據x 和y 通過環厚和角度的幅度來限定ρ, φ的區間。
從笛卡爾到極坐標的區域變換。
例（2-c） :
區域為
D
=
x
2
+
y
2
≤
4
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!}
例（2-d） :
區域為
D
=
{
x
2
+
y
2
≤
9
,
x
2
+
y
2
≥
4
,
y
≥
0
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}}
y 半平面中的圓環（參看示意圖）；注意φ表示平面角而ρ從2變化到3。因此變換出來的區域為矩形 ：
T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
π
}
{\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}}
該變換的雅可比行列式 為：
∂
(
x
,
y
)
∂
(
ρ
,
ϕ
)
=
|
cos
ϕ
−
ρ
sin
ϕ
sin
ϕ
ρ
cos
ϕ
|
=
ρ
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho }
這可以通過將x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ)代入關於ρ的第一行和關於φ的第二行的偏微分中得到，所以微分dx dy 變換為ρ d ρ d φ.
一旦函數和區域的變換完成後，可以定義極坐標中的變數變換公式：
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
T
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
)
ρ
d
ρ
d
ϕ
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \phi }
注意φ在[0, 2π]區間中有效，而ρ測量長度，因此只能取非負值。
此外，應用變數變換公式的前提是，雅可比行列式的值在變換後的積分變數(如此例中的ρ和φ)組成的有界閉區域(如此例中φ和ρ構成的二維域)上恆不為零。但是在極坐標中若且唯若ρ為零時，才有雅可比行列式為零，故可證明該變數變換公式成立。
例 (2-e) :
函數為
f
(
x
,
y
)
=
x
{\displaystyle f(x,y)=x\,\!}
從前面對D 的分析，我們知道ρ的區間為[2,3]，而φ的為[0,π].函數變換為：
f
(
x
,
y
)
=
x
⟶
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
cos
ϕ
{\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi }
最後，應用積分公式：
∬
D
x
d
x
d
y
=
∬
T
ρ
cos
ϕ
ρ
d
ρ
d
ϕ
{\displaystyle \iint _{D}x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \phi }
一旦區間給定，就可以得到
∫
0
π
∫
2
3
ρ
2
cos
ϕ
d
ρ
d
ϕ
=
∫
0
π
cos
ϕ
d
ϕ
[
ρ
3
3
]
2
3
=
[
sin
ϕ
]
0
π
(
9
−
8
3
)
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ \mathrm {d} \rho \ \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ \mathrm {d} \phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}
柱極坐標。 R 3 中，在有圓形底面的定義域上的積分可以通過變換到柱極坐標系 來完成；函數的變換用如下的關係進行：
f
(
x
,
y
,
z
)
→
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)}
區域的變換可以從圖形中得到，因為底面的形狀可能不同，而高遵循初始區域的形狀。
例（3-a） :
區域為
D
=
{
x
2
+
y
2
≤
9
,
x
2
+
y
2
≥
4
,
0
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}}
T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}
因為z 分量沒有變化，dx dy dz 和在極坐標中一樣變化：變為ρ dρ dφ dz 。
最後，變換到柱極坐標的最後公式為：
∭
D
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} z}
這個方法在柱形或者錐形區域的情況較為適用，也適用於容易分辨z 區間和變換圓形底面和函數的其它情況。
例（3-b） :
函數為
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
+
z
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!}
圓柱 :
D
=
{
x
2
+
y
2
≤
9
,
−
5
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}}
D 變換到柱極坐標如下：
T
=
{
0
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
−
5
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}}
函數變為
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
=
ρ
2
+
z
{\displaystyle f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z}
最有應用積分公式：
∭
D
(
x
2
+
y
2
+
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
(
ρ
2
+
z
)
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
;
{\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} z;}
推演一下公式，得到
∫
−
5
5
d
z
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
3
(
ρ
3
+
ρ
z
)
d
ρ
=
2
π
∫
−
5
5
[
ρ
4
4
+
ρ
2
z
2
]
0
3
d
z
=
2
π
∫
−
5
5
(
81
4
+
9
2
z
)
d
z
=
⋯
=
405
π
.
{\displaystyle \int _{-5}^{5}\mathrm {d} z\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,\mathrm {d} \rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,\mathrm {d} z=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,\mathrm {d} z=\cdots =405\pi .}
球極坐標。【注意某些地區（如北美）角度標識相反】 R 3 中，有些區域有球形對稱性，所以將積分區域的每點用兩個角度和一個距離標識較為合適。因此可以採用變換到球極坐標系 ；函數變換由如下關係產生：
f
(
x
,
y
,
z
)
⟶
f
(
ρ
cos
θ
sin
ϕ
,
ρ
sin
θ
sin
ϕ
,
ρ
cos
ϕ
)
{\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!}
注意z 軸上的點沒有唯一表示，
θ
{\displaystyle \theta }
這個方法最為適用的區域顯然是球。
例（4-a） :
區域為
D
=
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
16
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16}
T
=
{
0
≤
ρ
≤
4
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
θ
≤
2
π
}
{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}
坐標變換的雅可比行列式為：
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
=
|
cos
θ
sin
ϕ
−
ρ
sin
θ
sin
ϕ
ρ
cos
θ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
ρ
cos
θ
sin
ϕ
ρ
sin
θ
cos
ϕ
cos
ϕ
0
−
ρ
sin
ϕ
|
=
−
ρ
2
sin
ϕ
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=-\rho ^{2}\sin \phi }
因此
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}
ρ
2
sin
ϕ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }
得到最後公式:
∭
D
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
f
(
ρ
sin
θ
cos
ϕ
,
ρ
sin
θ
sin
ϕ
,
ρ
cos
θ
)
ρ
2
sin
ϕ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iiint _{T}f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }
應當在積分區域為球形對稱並且 函數很容易通過基本三角公式簡化的時候才使用這個方法。（參看例4-b）；其它情況下，可能使用柱極坐標更為合適（參看例4-c）。
∭
T
f
(
a
,
b
,
c
)
ρ
2
sin
ϕ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }
注意從雅可比行列式來的
ρ
2
{\displaystyle \rho ^{2}}
sin
ϕ
{\displaystyle \sin \phi }
注意下面例子中，φ和θ的作用反過來了。
例（4-b） :
D 和例4-a相同，而
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!}
很容易變換為：
f
(
ρ
sin
θ
cos
ϕ
,
ρ
sin
θ
sin
ϕ
,
ρ
cos
θ
)
=
ρ
2
,
{\displaystyle f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2},}
而從D 到T 的變換是已知的：
(
0
≤
ρ
≤
4
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
0
≤
θ
≤
π
)
{\displaystyle (0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi )}
應用積分公式：
∭
D
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
ρ
2
ρ
2
sin
θ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
,
{\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi ,}
並展開：
∭
T
ρ
4
sin
θ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
=
∫
0
π
sin
θ
d
θ
∫
0
4
ρ
4
d
ρ
∫
0
2
π
d
ϕ
=
2
π
∫
0
π
sin
θ
[
ρ
5
5
]
0
4
d
θ
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}\mathrm {d} \rho \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,\mathrm {d} \theta }
=
2
π
[
ρ
5
5
]
0
4
[
−
cos
θ
]
0
π
=
4
π
⋅
1024
5
=
4096
π
5
{\displaystyle =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}}
例（4-c） :
區域D 是球心在原點半徑為3a 的球（
D
=
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
9
a
2
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!}
看起來採用球極坐標變換較為合適，但是事實上，限定新區域T 的變數很明顯應該是：
0
≤
ρ
≤
3
a
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
0
≤
θ
≤
π
{\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi }
但是採用這個變換就有
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
⟶
ρ
2
sin
2
θ
cos
2
ϕ
+
ρ
2
sin
2
θ
sin
2
ϕ
=
ρ
2
sin
2
θ
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }
應用積分公式得到：
∭
T
ρ
2
sin
2
θ
ρ
2
sin
θ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
=
∭
T
ρ
4
sin
3
θ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }
這很難求解。而如果採用柱極坐標，新的T 區間為：
0
≤
ρ
≤
3
a
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
−
9
a
2
−
ρ
2
≤
z
≤
9
a
2
−
ρ
2
;
{\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}};}
z 區間可以通過將球切成兩個半球並求解從D 的公式來的不等式 得到（然後直接變換x2 + y2 到ρ2 ）。新函數就是ρ2 .採用積分公式
∭
T
ρ
2
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ \mathrm {d} \rho \mathrm {d} \phi \mathrm {d} z}
得到
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
3
a
ρ
3
d
ρ
∫
−
9
a
2
−
ρ
2
9
a
2
−
ρ
2
d
z
=
2
π
∫
0
3
a
2
ρ
3
9
a
2
−
ρ
2
d
ρ
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}\mathrm {d} \rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,\mathrm {d} z=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,\mathrm {d} \rho }
然後應用變換
9
a
2
−
ρ
2
=
t
⟶
d
t
=
−
2
ρ
d
ρ
⟶
d
ρ
=
d
t
−
2
ρ
{\displaystyle 9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow \mathrm {d} t=-2\rho \,\mathrm {d} \rho \longrightarrow \mathrm {d} \rho ={\frac {\mathrm {d} t}{-2\rho }}\,\!}
(新區間變為
0
,
3
a
⟶
9
a
2
,
0
{\displaystyle 0,3a\longrightarrow 9a^{2},0}
−
2
π
∫
9
a
2
0
ρ
2
t
d
t
{\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t}
因為
ρ
2
=
9
a
2
−
t
{\displaystyle \rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!}
−
2
π
∫
9
a
2
0
(
9
a
2
−
t
)
t
d
t
,
{\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t,}
將積分限反過來，然後分配括號中的項，很容易將積分分解為可以直接積分的兩部分：
2
π
[
∫
0
9
a
2
9
a
2
t
d
t
−
∫
0
9
a
2
t
t
d
t
]
=
2
π
[
9
a
2
2
3
t
3
2
−
2
5
t
5
2
]
0
9
a
2
{\displaystyle 2\pi \left[\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}}
=
2
⋅
27
π
a
5
(
6
−
18
5
)
=
648
π
5
a
5
.
{\displaystyle =2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.}
由於採用柱極坐標，很容易就將這個三重積分變換為簡單的單變數積分。
參看柱極和球極坐標下的∇ 中討論的不同的體積元。
利用上面描述的方法，很容易計算一些立體的體積。
圓柱 R 的圓形底面作為定義域，將等於高度h 的常函數作為積分對象。可以在極坐標中將體積寫作：體積
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
R
h
ρ
d
ρ
=
h
2
π
[
ρ
2
2
]
0
R
=
π
R
2
h
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{R}h\rho \ \mathrm {d} \rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}
驗證 ：體積=底面積×高 =
π
R
2
⋅
h
{\displaystyle \pi R^{2}\cdot h}
球 1 在球極坐標下的半徑為R 的球中積分：體積
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
π
sin
θ
d
θ
∫
0
R
ρ
2
d
ρ
=
2
π
∫
0
π
sin
θ
R
3
3
d
θ
=
2
3
π
R
3
[
−
cos
θ
]
0
π
=
4
3
π
R
3
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\,\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,\mathrm {d} \rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}
四面體 稜錐 或者說3維單純形 )：頂點在原點，三條長度為l 的邊沿着各個笛卡爾坐標系軸向的四面體的體積可以通過簡化公式計算，因為xy 平面和'z'軸互相垂直，x 和y 垂直，被積函數是常數1 。體積
=
∫
0
ℓ
d
x
∫
0
ℓ
−
x
d
y
∫
0
ℓ
−
x
−
y
d
z
=
∫
0
ℓ
d
x
∫
0
ℓ
−
x
(
ℓ
−
x
−
y
)
d
y
{\displaystyle =\int _{0}^{\ell }\mathrm {d} x\int _{0}^{\ell -x}\,\mathrm {d} y\int _{0}^{\ell -x-y}\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\ell }\mathrm {d} x\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,\mathrm {d} y}
=
∫
0
ℓ
(
ℓ
2
−
2
ℓ
x
+
x
2
−
(
ℓ
−
x
)
2
2
)
d
x
=
ℓ
3
−
ℓ
ℓ
2
+
ℓ
3
3
−
[
ℓ
2
2
−
ℓ
x
+
x
2
2
]
0
ℓ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,\mathrm {d} x=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=}
=
ℓ
3
3
−
ℓ
3
6
=
ℓ
3
6
{\displaystyle ={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}}
驗證 ：體積 = 底面積×高/3 =
ℓ
2
2
⋅
ℓ
/
3
=
ℓ
3
6
{\displaystyle {\frac {\ell ^{2}}{2}}\cdot \ell /3={\frac {\ell ^{3}}{6}}}
反常區間的例子。 定義域無界或者函數值在靠近定義域邊界時無界的情況下，可以引入二重廣義積分 或者三重廣義積分 。
富比尼定理 斷言若
∫
A
×
B
|
f
(
x
,
y
)
|
d
(
x
,
y
)
<
∞
,
{\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,\mathrm {d} (x,y)<\infty ,}
也即，積分絕對收斂，則多重積分和累次積分 給出同樣的結果，
∫
A
×
B
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
=
∫
A
(
∫
B
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
B
(
∫
A
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
{\displaystyle \int _{A\times B}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y}
一個特例是如果
|
f
(
x
,
y
)
|
{\displaystyle |f(x,y)|}
有界函數 而A 和B 為有界集 時。
如果積分不是絕對收斂，必須小心，不要混淆多重積分 和累次積分 的概念，特別是當它們採用形式上相同的記法的時候。記法
∫
0
1
∫
0
1
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}
在某些情況下表示累次積分而非真正的雙重積分。累次積分中，外圍的積分
∫
0
1
⋯
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,\mathrm {d} x}
是對於如下x 的函數關於x 的積分
g
(
x
)
=
∫
0
1
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,\mathrm {d} y}
雙重積分卻是定義在xy 平面的區域上。若雙重積分存在，則它等於兩個累次積分中的任何一個（或者"
d
y
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}
d
x
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
∫
0
1
∫
0
1
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
≠
∫
0
1
∫
0
1
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
這是條件收斂 的積分的重排序的一個例子。
如果要強調使用雙重積分而非累次積分時，可以採用如下記法
∫
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
很普遍地，像單變數一樣，我們通過多重積分可以找到給定集合上的函數的平均值。給定一個集合D ⊆ R n D 上可積的函數f ，f 在區域上的平均值是
f
¯
=
1
m
(
D
)
∫
D
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,\mathrm {d} x,}
其中m (D )是D 的測度。
此外，這些積分在物理 中有大量應用。
力學 中，轉動慣量 可以作為密度 乘以剛體和轉軸的距離的平方的體積分（三重積分）計算：
I
z
=
∭
V
ρ
r
2
d
V
{\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,\mathrm {d} V}
與三維歐氏空間 R 3 中的質量測度
d
m
{\displaystyle \mathrm {d} m}
質量分佈 引力勢 ：
V
(
x
)
=
−
∫
R
3
G
|
x
−
y
|
d
m
(
y
)
.
{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} m(\mathbf {y} ).}
如果存在一個連續函數
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}
x 處的密度分佈, 那麼
d
m
(
x
)
=
ρ
(
x
)
d
3
x
{\displaystyle \mathrm {d} m(\mathbf {x} )=\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }
d
3
x
{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }
體積元 , 那麼引力勢就是
V
(
x
)
=
−
∫
R
3
G
|
x
−
y
|
ρ
(
y
)
d
3
y
.
{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} .}
在電磁學 中，麥克斯韋方程組 可以寫作多重積分，用以計算總磁場和電場。下例中，由電荷分佈 產生的電場 通過向量函數的三重積分 得到：
E
→
=
1
4
π
ϵ
0
∭
r
→
−
r
→
′
‖
r
→
−
r
→
′
‖
3
ρ
(
r
→
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,\operatorname {d} ^{3}r'}
![{\displaystyle [a,b]=[0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888f35f1dfb5de316337a0850dab79f2c40513f5)
![{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\mathrm {d} x\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\mathrm {d} x\ \left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5037779c875679a9033eb9a78e7fdf7e576d9551)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)\mathrm {d} x=\cdots ={\frac {13}{20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c08133be04ca13faaa3bbf5312432d0043ded53)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ \mathrm {d} \rho \ \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ \mathrm {d} \phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeec53c4844a77eff71e89c85fa4c68858a9def)
![{\displaystyle \int _{-5}^{5}\mathrm {d} z\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,\mathrm {d} \rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,\mathrm {d} z=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,\mathrm {d} z=\cdots =405\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fe10e0264a6dd7441b44e945a3dffbe84482d6)
.svg)
![{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}\mathrm {d} \rho \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,\mathrm {d} \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b419230d08755625d6ae351355b9356edd936b09)
![{\displaystyle =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526a8de61cfde28b9780b28c5820726333676c78)
![{\displaystyle 2\pi \left[\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ead2d9fa431859e8b17dd29fa044ba3d90e3cfb)
![{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{R}h\rho \ \mathrm {d} \rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e6dede20fff63bb160d82627e02e57906b386a)
![{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\,\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,\mathrm {d} \rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749d35caeab488fda1c5c52543c8d19b3360ff48)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,\mathrm {d} x=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75d0da42a7057e4b2b9d350fc3061f69259052c)
![{\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5706bc2ae8a0208446a8bc5b2752daaa18362c64)
