截角八面體

截角八面體
	; (按這裏觀看旋轉模型)
類別	半正多面體
對偶多面體	四角化立方體
識別
名稱	截角八面體
參考索引	U08, C20, W7
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	toe
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	;
施萊夫利符號	t0,1{3,4}; t0,1,2{3,3}; t{3,4}; tr{3,3}
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	2 4 \| 3; 3 3 2 \|
康威表示法	tO; bT
性質
面	14
邊	36
頂點	24
歐拉特徵數	F=14, E=36, V=24 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	正方形; 正六邊形
面的佈局; （英語：Face configuration）	6個{4}; 8個{6}
頂點圖	4.6.6
對稱性
對稱群	Oh群; and Th
特性
	環帶多面體 ; permutohedron
圖像
	; 4.6.6; （頂點圖）
; 四角化立方體; （對偶多面體）	; （展開圖）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，截角八面體^[1]是一種具有十四個面的半正多面體，屬於阿基米德立體也是個平行多面體。由6個正方形和8個正六邊形組成，共有14個面、36個邊以及24個頂點^[2]。因為每個面皆具點對稱性質，因此截角八面體也是一種環帶多面體。同時，因為它具有正方形和六邊形面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號為G_IV(1,1)。另外，由於截角八面體也是一種排列多面體（英語：permutohedron）^[3]^[4]，因此可以獨立填滿整個三維空間^[5]，而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌^[6]。

截角八面體的對偶多面體為四角化六面體。若截角八面體的邊長為單位長，則其對偶多面體四角化六面體的邊長會變成 ${\tfrac {9}{8}}\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 和 ${\tfrac {3}{2}}\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 個單位長。

性質

截角八面體僅具有點可遞性質，也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的，都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點。但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質，因為截角八面體有兩種面，四邊形和六邊形，邊也不可遞，因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種，截角八面體共有兩種稜，一種為六邊形與六邊形的公共稜、另一種為六邊形與四邊形的公共稜。

由於截角八面體僅具有點可遞性質，因此只能算是均勻多面體^[7]中的半正多面體，不具擬正多面體性質。但這個多面體是阿幾米德研究的13種半正多面體之一，因此截角八面體也是一種阿基米德立體^[8]。

結構

截角八面體可以從邊長3a的正八面體切去六個底邊長為a的四角錐構成。這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長，因此其側面皆為正三角形，底邊長為a、底面積為a²，這些四角錐是正四角錐，是第一種詹森多面體，J₁。

這些被截下來的正四角錐其高h與斜高s為：

h={\sqrt {e^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a

s={\sqrt {h^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a

這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角切割深度。若太深則會變成截半八面體。

^[9]

座標


在(±2,±2,±2)範圍內的平行投影	每個六邊形面切割成六個正三角形產生了八個新的頂點，他們分別為(±1,±1,±1)的所有組合。

邊長為2的平方根且幾何中心位於原點的截角八面體其頂點座標為(0, ±1, ±2)的所有排列。

體積與表面積

截角立方體的體積 $8{\sqrt {2}}a^{3}$ ，表面積 $6+12{\sqrt {3}}a^{2}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長^[2]。

表面積 =

6+12{\sqrt {3}}a^{2}

≈

26.785a^{2}

體積 =

8{\sqrt {2}}a^{3}

≈

11.314a^{3}

作法

將正八面體進行截角操作，也就是將正八面體的六個頂點切去並在被切掉的地方建立六個正方形面即可得到一個截角八面體。

正交投影

截角八面體的正交投影
建立於	頂點	邊 4-6	邊 6-6	面正方形	面正六邊形
截角八面體
四角化六面體
投影對稱性	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

球面鑲嵌

平行投影	施萊格爾投影（英語：Schlegel diagram）
	以正方形面為中心	以正六邊形面為中心

分割

截角八面體可分割成正中央一個正八面體、其餘每個面切成8三角帳塔，剩餘的部分在分割成6個正四角錐。^[10]

虧格 2	虧格 3
D_3d, [2⁺,6], (2*3), order 12	T_d, [3,3], (*332), order 24

排列多面體

截角八面體是一種排列多面體（英語：permutohedron）^[3]^[4]，可以以更「對稱」的形式表示：四維空間中，(1,2,3,4)所有排列的坐標在三維子空間 $x+y+z+w=10$ 組成截角八面體。（對應的二維形狀是正六邊形：三維空間中，(1,2,3)所有排列的坐標在二維子空間 $x+y+z=6$ 組成正六邊形。）

參見

參考文獻

^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
^ ^2.0 ^2.1 Weisstein, Eric W. (編), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英語）
^ ^3.0 ^3.1 莊宛臻. Type B 的排列多面體. 應用數學系. 高雄大學. 2010-07-03 [2016-01-30]. （原始內容存檔於2016-01-30）.
^ ^4.0 ^4.1 Cayley graph of S₄. This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995).
^ Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08]. （原始內容存檔於2006-01-14）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
^ Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08]. （原始內容存檔於2006-09-11）.
^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
^ Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08]. （原始內容存檔於2006-08-22）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)
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Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025.
Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7.
Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.

外部連結

埃里克·韋斯坦因, 截角八面體（參閱阿基米德立體）於MathWorld（英文）
埃里克·韋斯坦因. Permutohedron. MathWorld.
Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4o - toe. bendwavy.org.
Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
截角八面體形狀的扭計骰：Fisher's Truncated Octahedron （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）、Truncated Octaminx （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[3] Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

[mathworld-4] 2.0 ^2.1 Weisstein, Eric W. (編), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英語）

[ir.nuk.edu.tw-5] 3.0 ^3.1 莊宛臻. Type B 的排列多面體. 應用數學系. 高雄大學. 2010-07-03 [2016-01-30]. （原始內容存檔於2016-01-30）.

[Cayley_graph_of_S4-6] 4.0 ^4.1 Cayley graph of S₄. This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995).

[7] Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08]. （原始內容存檔於2006-01-14）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)

[8] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)

[9] Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08]. （原始內容存檔於2006-09-11）.

[10] Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids

[11] Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08]. （原始內容存檔於2006-08-22）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)

[12] Alex Doskey. Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1. Alexander's Polyhedra. doskey.com. 2006 [2016-01-30]. （原始內容存檔於2016-02-04）.

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[10]

對稱性: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t_0,1{3,3}	t₁{3,3}	t_1,2{3,3}	t₂{3,3}	t_0,2{3,3}	t_0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面體對偶


V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

對稱性: [4,3], (*432)							[4,3]⁺, (432)	[1⁺,4,3], (*332)	[4,3⁺], (3*2)


{4,3}	t_0,1{4,3}	t₁{4,3}	t_1,2{4,3}	{3,4}	t_0,2{4,3}	t_0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h_1,2{4,3}
半正多面體的對偶


V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

						...
過截角立方體	過截角超立方體	過截角五維超立方體	過截角六維超立方體（英語：Bitruncated 6-cube）	過截角七維超立方體（英語：Bitruncated 7-cube）	過截角八維超立方體（英語：Bitruncated 8-cube）