線性微分方程

線性微分方程（英語：Linear differential equation）是數學中常見的一類微分方程。指以下形式的微分方程：

${\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)$

其中方程左側的微分算子${\mathcal {L}}$是線性算子，y是要解的未知函數，方程的右側是一個已知函數。如果f(x) = 0，那麼方程(*)的解的線性組合仍然是解，所有的解構成一個向量空間，稱為解空間。這樣的方程稱為齊次線性微分方程。當f不是零函數時，所有的解構成一個仿射空間，由對應的齊次方程的解空間加上一個特解得到。這樣的方程稱為非齊次線性微分方程。線性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

簡介

線性微分方程是一類特殊的微分方程。一個線性微分方程的解構成向量空間或仿射空間，因此可以應用相關的代數知識來討論解的性質。線性微分方程的普遍形式為：

${\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)$

其中的${\mathcal {L}}$是一個線性的微分算子，也就是說，設有兩個函數$y_{1}$和$y_{2}$以及兩個常數$\lambda _{1}$和$\lambda _{2}$，那麼：

${\mathcal {L}}(\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2})=\lambda _{1}{\mathcal {L}}(y_{1})+\lambda _{2}{\mathcal {L}}(y_{2}).$

如果f是零函數，那麼給定若干個方程(*)的解函數：$y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m}$以及同樣多的常數係數：$\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{m}$，線性組合$\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\cdots +\lambda _{m}y_{m}$仍然是方程(*)的解函數。這說明所有方程(*)的解函數構成一個線性空間V，稱為方程的解空間。如果f不是零函數，那麼考慮相應的齊次線性微分方程：

${\mathcal {L}}(y)=0\qquad \ldots \;\;(**)$

設$y^{s}$是方程(*)的一個解函數。$y$方程(**)的任意一個解函數。則它們的和$y^{s}+y$仍然是(*)的解函數。另一方面，給定方程(*)的兩個解函數：$y_{1}^{s}$和$y_{2}^{s}$。則它們的差$y_{1}^{s}-y_{2}^{s}$會是方程(**)的解函數。這說明方程(*)的所有解函數都可以寫成$y^{s}+y,\;y\in V$的形式。其中V是方程(**)的解空間。所以方程(*)的所有解函數構成一個仿射空間V'，並且$V'=y^{s}+V$。

常係數齊次線性微分方程

一種解線性微分方程的方法是歐拉發現的，他意識到這類方程的解都具有$e^{zx}$的形式，其中$z$是某個複數。因此，對於以下方程：

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0$

我們設$y=e^{zx}$，可得：

$z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.$

兩邊除以e ^zx，便得到了一個n次方程：

$F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,$

這個方程F(z) = 0稱為特徵方程。

一般地，把微分方程中以下的項

${\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).$

換成z^k，便可得到特徵方程。這個方程有n個解：z₁, ..., z_n。把任何一個解代入e ^zx，便可以得到微分方程的一個解：e ^z_ix。由於齊次線性微分方程滿足疊加原理，因此這些函數的任意線性組合仍然滿足微分方程。

如果特徵方程的根都不重複，我們便得到了微分方程的n個解。可以證明，這些解是線性獨立的。於是，微分方程的通解就是y = C₁e ^z₁x + C₂e ^z₂x + …… + C_ne ^z_nx，其中C₁、C₂、……、C_n是常數。

以上討論了n個根全不相同的情形。如果這n個根中有兩個（或多個）相同，用上面的方法就無法得出n個線性獨立的解。但是，可以驗證，如果z是特徵方程的 m_z 重根，那麼，對於 $k\in \{0,1,\dots ,m_{z}-1\}\,$，$y=x^{k}e^{zx}\,$ 就是微分方程的一個解。對每個特徵根 z，都能得到 m_z 個解，所有這些解的線性組合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的係數A_i都是實數，那麼它的解也應該表示成實數的形式。假如特徵方程有複數根，那麼它一定是成對的，也就是說，如果a + bi是特徵方程的根，那麼a - bi也是一個根。於是，y = e ^{(a + bi)x}和y = e ^{(a - bi)x}都是微分方程的解。但這兩個解都是複數的形式。考慮到這兩個解的任意線性組合也仍然是微分方程的解，我們可以把這兩個解相加，再除以2，利用歐拉公式，便得到一個實數形式的解：y = e ^axcosbx。如果把兩個解相減，再除以2i，便得到另一個實數形式的解：y = e ^axsinbx。於是，y = C₁e ^axcosbx + C₂e ^axsinbx就是微分方程的通解。

例子

求微分方程$y''-4y'+5y=0\,$的通解。特徵方程是$z^{2}-4z+5=0\,$，它的根是2+i和2−i。於是，$y=C_{1}e^{2x}\cos {x}+C_{2}e^{2x}\sin {x}$就是微分方程的通解。

常係數非齊次線性微分方程

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應的齊次方程的通解，然後用待定係數法或常數變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解。

待定係數法

考慮以下的微分方程：

${\frac {dy}{dx}}=y+e^{2x}.\!$

對應的齊次方程是：

${\frac {dy}{dx}}=y.$

它的通解是：

$y=ce^{x}.\!$

由於非齊次的部分是($e^{2x}$)，我們猜測特解的形式是：

$y_{p}=Ae^{2x}.\!$

把這個函數以及它的導數代入微分方程中，我們可以解出A：

${\frac {d}{dx}}\left(Ae^{2x}\right)=Ae^{2x}+e^{2x}\!$

$2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}\!$

$2A=A+1\,\!$

$A=1.\,\!$

因此，原微分方程的解是：

$y=ce^{x}+e^{2x}.\!$ ($c\in R$)

常數變易法

假設有以下的微分方程：

$y^{\prime \prime }+py^{\prime }+qy=f(x)$

我們首先求出對應的齊次方程的通解$\ y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$，其中C₁、C₂是常數，y₁、y₂是x的函數。然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的通解中的常數C₁、C₂換成x的未知函數u₁、u₂，也就是：

$y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~\mathrm {(1)}$

兩邊求導數，可得：

$y'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.$

我們把函數u₁、u₂加上一條限制：

$u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~\mathrm {(2)}$

於是：

$y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~\mathrm {(3)}$

兩邊再求導數，可得：

$y''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~\mathrm {(4)}$

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

$u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).$

整理，得：

$u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).$

由於y₁和y₂都是齊次方程的通解，因此$u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1}$和$u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2}$都變為零，故方程化為：

$u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~\mathrm {(5)}$

(2)和(5)聯立起來，便得到了一個$u_{1}'$和$u_{2}'$的方程組，便可得到$u_{1}'$和$u_{2}'$的表達式；再積分，便可得到$u_{1}$和$u_{2}$的表達式。

這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：

$u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.$

其中W表示朗斯基行列式。

變係數線性微分方程

n階的變係數微分方程具有以下形式：

$p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).$

一個例子是柯西-歐拉方程：

$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.$

變係數線性微分方程通常沒有一般的方法可以求解，但一階的變係數線性微分方程是例外。設有以下的一階變係數線性微分方程：

$\ Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).$

這個方程可以用積分因子求解，方法是把兩邊乘以$e^{\int f(x)\,dx}$：

$Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},$

用乘法定則，可以簡化為：

$D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$

兩邊積分，得：

$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,$

$y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.$

也就是說，一階線性微分方程$y'(x)+p(x)y(x)=r(x)$的解是：

$y=e^{-a(x)}\left(\int r(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)$

其中$\kappa$是積分常數，且

$a(x)=\int {p(x)\,dx}.$

例子

考慮以下一階線性微分方程：

${\frac {dy}{dx}}+by=1.$

p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解為：

$y(x)=e^{-bx}\left({\frac {e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.$

拉普拉斯變換解微分方程

應用拉普拉斯變換解線性微分方程顯得更為方便簡單。

首先有以下關係：

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)$

${\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\Sigma _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).$

有如下微分方程：

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t).$

該方程可變換為：

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

則：

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}.$

其中 $f^{(k)}(0)$ 是初始條件。

f(t) 通過拉普拉斯反變換 ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ 求得。

參見

• 拉普拉斯變換
• 傅里葉變換
• 里卡蒂方程
• 伯努利微分方程
• 柯西-歐拉方程
• 克萊羅方程
• 全微分方程

參考文獻

• Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.