胡爾維茲定理
在代數學中，胡爾維茲定理（又名「1,2,4,8定理」）是以在1898年證明它的阿道夫·胡爾維茲命名。該定理表明：任何帶有單位元的賦範可除代數同構於以下四個代數之一：R,C,H和O，分別代表實數、複數、四元數和八元數。[1][2]對實賦範可除代數的分類始於弗洛比紐斯[3] ，發揚於胡爾維茲[4]，由佐恩整理為一般形式[5]。一個簡短的歷史摘要可見Badger[6]。
完整的證明能在凱特和索洛多斯尼科夫[7]或者夏皮羅[8]處找到。一個基本的想法是，如果一個代數A是成正比於1的，那麼它同構於實數。否則，我們使用凱萊-迪克森結構擴展子代數以同構於1，並引入一個向量正交於1。此子代數是同構於複數的。如果它不是A的全體，那麼我們再次使用凱萊-迪克森結構和另一個與複數正交的向量，得到一個與四元數同構的子代數。如果這還不是不是A的全體，我們重複以上行為一次，並得到同構於凱萊數（或八元數）的子代數。我們現在有一個定理，說的是每一個包含1而又不是A自身的子代數是結合的。凱萊數不是結合的，因此必須為A。
胡爾維茲定理也可以用於證明n個平方和與n個平方和的積仍可以寫成n個平方和僅當n為1,2,4或者8時[9]。
參考文獻
[編輯]引用
[編輯]- ^ JA Nieto and LN Alejo-Armenta. Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis. Arxiv preprint hep-th/0005184. 2000 [2011-01-04]. （原始內容存檔於2022-04-14）.
- ^
Kevin McCrimmon. Hurwitz's theorem 2.6.2. A taste of Jordan algebras. Springer. 2004: 166. ISBN 0387954473.
Only recently was it established that the only finite-dimensional real nonassociative division algebras have dimensions 1,2,4,8; the algebras were not classified, and the proof was topological rather than algebraic.
- ^ Georg Frobenius. Über lineare Substitutionen und blineare Formen. J. Reine Angew. Math. 1878, 84: 1–63.
- ^ Hurwitz, A. Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln (On the composition of quadratic forms of arbitrary many variables). Nachr. Ges. Wiss. Göttingen. 1898: 309–316. Template:JFM （德語）.
- ^ Max Zorn. Theorie der alternativen Ringe. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1930, 8: 123–147.
- ^ Matthew Badger. Division algebras over the real numbers (PDF). （原始內容 (PDF)存檔於2011-06-07）.
- ^ IL Kantor and AS Solodovnikov. Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.. Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras 2nd. Springer-Verlag. 1989: 121. ISBN 0387969802.
- ^ Daniel B. Shapiro. Appendix to Chapter 1. Composition algebras. Compositions of quadratic forms. Walter de Gruyter. 2000: 21 ff. ISBN 311012629X.
- ^ Joe Roberts. Square identities. Lure of the integers. Cambridge University Press. 1992. ISBN 088385502X.
書籍
[編輯]- John H. Conway, Derek A. Smith On Quaternions and Octonions. A.K. Peters, 2003.
- John Baez, The Octonions, AMS 2001.