摺積、互相關和自相關的圖示比較。運算涉及函數
,並假定
的高度是1.0,在5個不同點上的值,用在每個點下面的陰影面積來指示。
上面:100個隨機數序列的圖,其中隱含了一個正弦函數。下面:自相關函數產生的相關圖顯示出的正弦函數。
自相關(英語:Autocorrelation),也叫序列相關[1],是一個訊號於其自身在不同時間點的互相關。非正式地來說,它就是兩次觀察之間的相似度對它們之間的時間差的函數。它是找出重複模式(如被噪聲掩蓋的週期訊號),或識別隱含在訊號諧波頻率中消失的基頻的數學工具。它常用於訊號處理中,用來分析函數或一系列值,如時域訊號。
自相關函數在不同的領域的定義不完全等價。在某些領域,自相關函數等同於自協方差。
將一個有序的隨機變量序列與其自身相比較,這就是自相關函數在統計學中的定義。每個不存在相位差的序列,都與其自身相似,即在此情況下,自相關函數值最大。如果序列中的組成部分相互之間存在相關性(不再是隨機的),則由以下相關值方程所計算的值不再為零,這樣的組成部分為自相關。
![{\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{i}-\mu _{i})(X_{i+k}-\mu _{i+k})]}{\sigma ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75100cc4701f14bc96e5415253ee16f6d47e8759)
......... 期望值。
........ 在t(i)時的隨機變量值。
........ 在t(i)時的預期值。
.... 在t(i+k)時的隨機變量值。
.... 在t(i+k)時的預期值。
......... 為方差。
所得的自相關值R的取值範圍為[-1,1],1為最大正相關值,-1則為最大負相關值,0為不相關。
在訊號處理中,上面的定義通常不進行歸一化,即不減去均值並除以方差。當自相關函數由均值和方差歸一化時,有時會被稱作自相關系數。[2]
給定一個訊號
,連續自相關函數
通常定義為
與其自身延遲
的連續互相關。
![{\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(u+\tau ){\overline {f}}(u)\,{\rm {d}}u=\int _{-\infty }^{\infty }f(u){\overline {f}}(u-\tau )\,{\rm {d}}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2a1a97ef4506c99c8845e820bacf966ef9cd44)
其中
表示共軛複數,
是對函數
操作的一個函數,定義為
而
表示摺積。
對於實值函數,
。
注意積分中的參數
是一個虛變量,並且只對計算積分有用。沒有具體含義。
離散訊號
的延遲為
的離散自相關
是
![{\displaystyle R_{yy}(l)=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y}}(n-l).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8516ebb068616f3e021f2cb6c48170c535188a35)
上述定義在訊號平方可積或平方可和(即有限能量)的前提下才成立。但「永遠持續」的訊號被處理成隨機過程,就需要使用基於期望值的與之不同的定義。對於寬平穩隨機過程,自相關函數定義為
![{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f}}(t-\tau )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be7d2e4d8c504d0c68e3a4b36687bed7cd60f5d)
![{\displaystyle R_{yy}(l)=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y}}(n-l)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd64b05417ffd5c20bd0f5b65effab1758839002)
對於非平穩過程,這些也會是
或者
的函數。
對於還是可遍歷的過程, 期望值會被換成時間平均的極限。各態歷經過程的自相關函數有時定義為或等於[2]
![{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,{\rm {d}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f6026ed4f4b028165805dd41ed11673f5c7f6b)
![{\displaystyle R_{yy}(l)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y}}(n-l).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082336fb125ba1e0204b2072de4c6189fccf1153)
這些定義的優點是,它們合理定義了週期函數的單變量結果,甚至當那些函數不是平穩各態歷經過程時。
此外,「永遠持續」的訊號可以通過短時距自相關函數使用有限時間積分來處理(相關過程參見短時距傅利葉變換。)
多維自相關定義類似。例如,在三維中, 平方可和的離散訊號的自相關就會是
![{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,x_{n-j,q-k,r-\ell }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97d4fe68d8e7a6719986282d2c6f6568f57d75d)
若在求自相關函數之前從訊號中減去均值,得出的函數通常稱為自協方差函數。
以下以一維自相關函數為例說明其性質,多維的情況可方便地從一維情況推廣得到。
- 對稱性:從定義顯然可以看出R(i) = R(−i)。連續型自相關函數為偶函數
- 當f為實函數時,有:
![{\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}(\tau )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec136649d13b8e8b550b657215c73db8afa12ac9)
- 當f是複函數時,該自相關函數是厄米函數,滿足:
![{\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}^{*}(\tau )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c0eb30a521fa54b568fc2432db15539ba278f5)
- 其中星號表示共軛。
- 連續型實自相關函數的峰值在原點取得,即對於任何延時 τ,均有
。該結論可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。離散型自相關函數亦有此結論。
- 週期函數的自相關函數是具有與原函數相同週期的函數。
- 兩個相互無關的函數(即對於所有 τ,兩函數的互相關均為0)之和的自相關函數等於各自自相關函數之和。
- 由於自相關函數是一種特殊的互相關函數,所以它具有後者的所有性質。
- 連續時間白噪聲訊號的自相關函數是一個δ函數,在除 τ = 0 之外的所有點均為0。
![{\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi f\tau }\,df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a412198895cf2e891a281db6f11d5fd3eceabc)
![{\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d71297fadf1303e6315f79fb81f4306e592fea)
- 實值、對稱的自相關函數具有實對稱的轉換函數,因此此時維納-辛欽定理中的複指數項可以寫成如下的餘弦形式:
![{\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cos(2\pi f\tau )\,df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4a08121c5e6d015ef4b2dc5ffc2e08b953e575)
![{\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )\cos(2\pi f\tau )\,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f73532ab6002d422b93819e7540de454ebc518a)
白噪聲的自相關函數為δ函數:
![{\displaystyle r_{nn}=\mathbb {E} \{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7dafa18f96c8533c015ab3a1c7504ed5062a2f2)
- 訊號處理中,自相關可以提供關於重複事件的資訊,例如音樂節拍(例如,確定節奏)或脈波星的頻率(雖然它不能告訴我們節拍的位置)。另外,它也可以用來估計樂音的音高。
- ^ Zovko, Ilija I. Topics in Market Microstructure. Amsterdam University Press. 2008-09-01. ISBN 9789056295387 (英語).
- ^ 2.0 2.1 Dunn, Patrick F. Measurement and Data Analysis for Engineering and Science. New York: McGraw–Hill. 2005. ISBN 0-07-282538-3.