在一個旋轉系統裏，力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
在物理學 中，角動量 是與物體的位置向量 和動量 相關的物理量 。對於某慣性參考系 的原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
位置向量 和動量 的叉積 ，通常寫做
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
向量 ，且是一贗向量 。
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
=
r
×
p
=
r
×
(
m
v
)
=
r
×
(
ω
×
(
m
r
)
)
=
m
r
2
ω
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )=\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times (m\mathbf {r} ))=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\omega }}}
其中，
I
{\displaystyle I}
轉動慣量 ，
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
假設作用於物體的外力矩和為零，則物體的角動量是守恆的。需要注意的是，由於成立的條件不同，角動量是否守恆與動量 是否守恆沒有直接的聯繫。
當物體的運動狀態（動量）發生變化，則表示物體受力作用，而作用力大小就等於動量
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
F
=
d
P
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{dt}}}
當物體的轉動狀態發生改變時，表示物體受到力矩作用，而力矩就等於角動量的時變率：
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}
若物體（或系統）所受外力矩和為零，則物體（系統）的角動量守恆。例如靜電力或萬有引力均是徑向力，因此不會產生力矩。行星運動的相互作用力源自於萬有引力，故行星運動滿足角動量守恆，所對應的就是開普勒定律 中的第二定律 。
P
≡
m
v
{\displaystyle \mathbf {P} \equiv m\mathbf {v} }
伽利略·伽利萊 首先引入角動量守恆的概念。[ 1] :80
在量子力學裏角動量是量子化的：系統的角動量不能任意地取某實數值而只能取以約化普朗克常數
ℏ
{\displaystyle \hbar }
ℏ
{\displaystyle \hbar }
自旋 。自旋以
ℏ
2
{\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}
角動量是位移與動量的向量積。而量子力學裏位移與同方向動量是非對易 的因此各獨立方向的角動量分別非對易：
[
L
i
,
L
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
列維-奇維塔符號 。
[
A
,
B
]
=
A
B
−
B
A
{\displaystyle [A,B]=AB-BA}
交換子 。根據海森堡不確定原理 非對易的物理量不能同時測準。因此角動量向量的各方向部可以各自但不能同時確定。雖然如此但是角動量向量的長度是可和任意一部同時確定：
[
L
i
,
L
2
]
=
0
{\displaystyle \left[L_{i},L^{2}\right]=0}
因此算符
L
2
{\displaystyle L^{2}}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
球座標系 表現為：[ 2] :169
L
2
=
−
ℏ
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
−
ℏ
2
sin
2
θ
∂
2
∂
ϕ
2
{\displaystyle L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}
其中
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
ϕ
{\displaystyle \phi }
z
{\displaystyle z}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
L
2
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle L^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle }
L
z
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
m
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle }
是球諧函數 ：
⟨
θ
,
ϕ
|
l
,
m
⟩
=
Y
l
,
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}
l
{\displaystyle l}
−
l
≤
m
≤
l
{\displaystyle -l\leq m\leq l}
l
{\displaystyle l}
經典力學內角動量是可以取任意連續值會導致熱力學 上一些吊詭 。角動量量子化給這些問題完美的答案，這也是角動量量子化有其必要性的證據之一。
在熱力學裏平均能量和系統自由度有關。例如忽略內部結構的單原子分子組成的理想氣體 平均能量是
E
N
=
3
2
k
B
T
{\displaystyle {\frac {E}{N}}={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T}
k
B
T
2
{\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}}
能量均分定理 。
假設除了三維的平移運動，氣體的分子是由兩種原子組成。而原子可以相互環繞運動。為了簡化問題假設所有分子的原子對只能環繞z軸運動。它們旋轉的動能量是：
E
=
L
z
2
2
I
{\displaystyle E={\frac {L_{z}^{2}}{2I}}}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
I
{\displaystyle I}
轉動慣量 和原子的距離平方成正比。從運用統計力學的配分函數
Z
=
∫
−
∞
∞
d
L
z
e
−
β
L
z
2
2
I
=
2
π
I
β
{\displaystyle Z=\int _{-\infty }^{\infty }dL_{z}e^{-\beta {\frac {L_{z}^{2}}{2I}}}={\sqrt {\frac {2\pi I}{\beta }}}}
（
β
=
1
k
B
T
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}}
T
{\displaystyle T}
⟨
E
⟩
N
=
−
∂
log
Z
∂
β
=
1
2
β
=
k
B
T
2
{\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{N}}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}}
也就是新的旋轉自由度和每平移運動方向給與一樣的能量。
但是，旋轉的貢獻並不決定於分子的轉動慣量
I
{\displaystyle I}
Z
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
β
n
2
ℏ
2
2
I
{\displaystyle Z=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\beta {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}}
在溫度很高（
β
→
0
{\displaystyle \beta \to 0}
Z
{\displaystyle Z}
|
n
|
{\displaystyle |n|}
Z
≃
1
+
e
−
β
n
2
ℏ
2
2
I
+
⋯
{\displaystyle Z\simeq 1+e^{-\beta {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}+\cdots }
因此對平均溫度的貢獻是：
⟨
E
⟩
N
=
−
∂
log
Z
∂
β
≃
n
2
ℏ
2
2
I
{\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{N}}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}\simeq {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}
而一個系統的量子旋轉特徵和經典旋轉特徵的交叉點出現在溫度可以給與幾個
ℏ
{\displaystyle \hbar }
T
∗
≈
ℏ
2
2
I
{\displaystyle T^{*}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}
^ Roger G Newton. From Clockwork to Crapshoot: A History of Physics. Harvard University Press. 30 June 2009. ISBN 978-0-674-04149-3 ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
線性（平動）的量
角度（轉動）的量
因次
—
L
L2
因次
—
—
—
T
時間 : t s 位移積分 : A m s T
時間 : t s
—
距離 : d 位矢 : r s x 位移 m 面積 : A m2 —
角度 : θ 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr
T−1
頻率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1
頻率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2 T−2
角加速度 : α s−2
T−3
加加速度 : j −3 T−3
角加加速度 : ζ s−3
M
質量 : m kg ML2
轉動慣量 : I m2
MT−1
動量 : p 衝量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角動量 : L 角衝量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
![{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696c9a2e9911e38c992309efad5f828e68c23fc8)
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
![{\displaystyle \left[L_{i},L^{2}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262cb2e827985d324709db4e68d603507ec00a16)
