超越數

提示：此條目的主題不是超限數。

在數論中，超越數（英語：transcendental number）是指任何一個不是代數數的無理數。只要它不是任何一個有理系數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。

幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。

定義

超越數是代數數的相反，也即是說若$x$是一個超越數，那麼對於任何整數$a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}$都符合：

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0$

（其中$a_{n}\neq 0$）

例子

超越數的例子包括：

• 錢珀瑙恩數
• 萊歐維爾數：$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots$
  它是第一個確認為超越數的數，是於1844年萊歐維爾發現的。
• 自然對數底${\boldsymbol {e}}$（參見：e）。
• ${\boldsymbol {e}}^{a}$ ，其中$a$是除0以外的代數數。
• ${\boldsymbol {\pi }}$（參見：圓周率）
  林德曼-魏爾斯特拉斯定理，1882年，註：因$\pi \,$是超越數而證明尺規作圖中的「化圓為方」的不可實現性。
• ${\boldsymbol {e^{\pi }}}$（參見：e的π次方）
• $2^{\sqrt {2}}$（參見：2的√2次方）。
  更一般地，若$a\,$為零和一以外的任何代數數及$b\,$為無理代數數則$a^{b}\,$必為超越數。這就是格爾豐德-施奈德定理。
• $\sin 1\,$（參見：正弦）
• $\ln a\,$（參見：自然對數），其中$a\,$為一不等於1的正有理數。
• $\mathbf {W} (a)\,$（參見：朗伯W函數），其中$a\,$為一正有理數。
• $\Gamma ({\frac {1}{3}})\,$ $\left(\approx 2.67894\right)\,$，$\Gamma ({\frac {1}{4}})\,$ $\left(\approx 3.62561\right)\,$及$\Gamma ({\frac {1}{6}})\,$ $\left(\approx 5.56632\right)\,$（參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至連$\pi +e\,$是不是超越數也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨着超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

可能的超越數

以下數仍待證明為超越數或代數數：

• 數 e 和$\pi$的大多數和、積、冪等等，例如$\pi +e$, $\pi -e$, $\pi e$, ${\frac {\pi }{e}}$, $\pi ^{\pi }$, $e^{e}$, $\pi ^{e}$, $\pi ^{\sqrt {2}}$, $\pi ^{\pi ^{2}}$尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是$\pi +e^{\pi }$, $\pi e^{\pi }$和 $e^{\pi {\sqrt {n}}}$（對於所有正整數 $n$）已被證明是超越數
• 歐拉-馬歇羅尼常數$\gamma$，尚未被證明是無理數
• 卡塔蘭常數，未被證明是無理數
• 阿培里常數$\zeta (3)$ ，是無理數
• 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值，$\zeta (5),\zeta (7),\ldots$（尚未被證明是無理數）
• 費根鮑姆常數，$\delta$與$\alpha$，皆未證明是否為無理數
• 米爾斯常數，未證明是否為無理數
• 辛欽常數，未證明是否為無理數
• 克柏蘭-艾狄胥常數，是無理數

猜想：

• Schanuel猜想
• 四指數猜想

簡要地證明$e$是超越數

第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大衛·希爾伯特的策略。他給出了夏爾·埃爾米特的原始證明的簡化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設$e$是代數數。那就存在一個有限的整系數集$c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}$滿足下列等式：

$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.$

現在對於一個正整數$k$，我們定義如下的多項式：

$f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},$

並在上述等式的兩端乘上

$\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,$

於是我們得到等式：

$c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.$

該等式可以寫成這種形式

$P+Q=0$

其中

$P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)$

$Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)$

引理 1. 對於恰當選擇的$k$， ${\frac {P}{k!}}$ 是非零整數。

證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出

$\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!$

對於任何正整數 j 成立（考慮Γ函數）。

它是非零的，因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a ，

$c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx$

中的被積函數均為 e^−x 乘以一些項的和，在積分中用 x - a 替換 x 後， x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

$\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx$

其中 k+1 ≤ j ，而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 後，我們得到模 (k+1) 得 0 的數。

現在我們只須考慮a=0的項。我們有：

$\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx$

於是

${\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).$

通過選擇 k ，使得 k+1 是大於 n 與 |c₀| 的質數，我們可以得出 ${\tfrac {P}{k!}}$ 模 (k+1) 為非零，從而該數為非零整數。

引理 2. 對於充分大的 k ， $\left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1$ 。

證明： 注意到

$f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)$

使用 $|x(x-1)\cdots (x-n)|$ 和 $|(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|$ 在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ，我們可以推出

$|Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})$

由於

$\lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0$

我們有

$\lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0$

這點足以完成對引理的證明。

注意可以選擇滿足兩個引理的$k$，從而我們能得出矛盾。進而得以證明$e$的超越性。

馬勒的分類

庫爾特·馬勒在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

實數的無理性度量

一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數$x$，可以使得一次多項式$\vert qx-p\vert$盡可能小但不精確地等於 0 。這裏的$p$ , $q$是滿足$\vert p\vert$, $\vert q\vert$以正整數$H$為界的整數。

令$m(x,1,H)$為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：

$\omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}$

$\omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).$

$\omega (x,1)$常稱為實數$x$的無理性度量（measure of irrationality）。對於有理數$\omega (x,1)=0$，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

複數的超越性度量

接下來考慮多項式對於複數$x$的取值，這些多項式系數為整數，次數至多為$n$，而且高至多為$H$，此處的$n$, $H$是正整數。

令$m(x,n,H)$為以$x$為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：

$\omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}$

$\omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).$

假如對於盡可能小的正整數$n$，$\omega (x,n)$為無窮大，則這種情況下複數$x$稱為$n$次的U數。

現在我們可以定義

$\omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).$

$\omega (x)$常稱為$x$的超越性度量（measure of transcendence）。假如$\omega (x,n)$有界，則$\omega (x)$有限，$x$稱為S數。如果$\omega (x,n)$有限而無界，則$x$稱為T數。$x$為代數數當且僅當$\omega (x)=0$。

顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒維克在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 。

T數組成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃爾夫岡·M·施密特在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當$x$為任意非零代數數時$e^{x}$均為S數：這點揭示了$e$是S數且給出了$\pi$的超越性證明。對於$\pi$我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數$x$, $y$稱為代數相關，當存在 2 個變量的整系數非零多項式$P$滿足$P(x,y)=0$。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與$e$或$\pi$的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

Koksma 的等價分類

Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。

考慮用次數$\leq n$且高$\leq H$的代數數逼近複數$x$。令$\alpha$為該有限集中滿足$\vert x-\alpha \vert$取最小正值得代數數。定義$\omega ^{*}(x,H,n)$和$\omega ^{*}(x,n)$如下：

$|x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.$

$\omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).$

若對於最小的正整數$n$，$\omega ^{*}(x,n)$為無窮大，則稱$x$為$n$次的U*數。

若$\omega ^{*}(x,n)$有界且不收斂到 0 ，則則稱$x$為S*數，

一個數$x$被稱為 A*數 ，當$\omega ^{*}(x,n)$收斂到 0 。

若所有的$\omega ^{*}(x,n)$均為有限但無界，則稱 x 為T*數，

Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。A*數就是代數數。

勒維克的構造

令

$\lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}$

可以證明$\lambda$（劉維爾數）的$n$次方根是$n$次的U數。

此構造可以改進以建立$n$次U數的不可數個系列。令$Z$為上述$\lambda$的級數中 10 的冪次的集合。$Z$所有子集的集合是不可數的。在表示$\lambda$的級數中刪去任意一個$Z$的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的$n$次方根都是次數為$n$的U數。

類型

數列$\{\omega (x,n)\}$的上界稱為類型（type）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。

參見

• 多項式
• 無理數
• 代數數
• 林德曼-魏爾斯特拉斯定理