門格海綿

門格海綿

門格海綿（英語：Menger sponge、英語：Menger universal curve）是分形的一種。它是一個通用曲線，因為它的拓撲維數為一，且任何其它曲線或圖都與門格海綿的某個子集同胚。它有時稱為門格-謝爾賓斯基海綿或謝爾賓斯基海綿。它是康托爾集和謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣。它首先由奧地利數學家卡爾·門格在1926年描述，當時他正在研究拓撲維數的概念。

結構

門格海綿的結構可以用以下方法形象化：

1. 從一個正方體開始。（第一張圖像）
2. 把正方體的每一個面分成9個正方形。這將把正方體分成27個小正方體，像魔方一樣。
3. 把每一面的中間的正方體去掉，把最中心的正方體也去掉，留下20個正方體（第二張圖像）。
4. 把每一個留下的小正方體都重複第1-3個步驟。

把以上的步驟重複無窮多次以後，得到的圖形就是門格海綿。

性質

門格海綿的每一個面都是謝爾賓斯基地毯；同時，門格海綿與原先立體的任何一條對角線的交集都是康托爾集。

門格海綿是一個閉集；由於它也是有界的，根據海涅-博雷爾定理，它是一個緊集。更進一步，門格海綿是不可數集，且具有勒貝格測度0。

門格海綿的拓撲維數是一，與任何曲線一樣。門格在1926年證明了，它是一個通用曲線，就是說任何一維曲線都與門格海綿的一個子集同胚，這裏的曲線是指任何勒貝格覆蓋維數為一的緊度量空間。

門格海綿的郝斯多夫維為(ln 20) / (ln 3)（大約2.726833）。

門格海綿的表面積無窮大。

正式定義

正式地，門格海綿可以定義如下：

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

其中M₀是單位立方體，且：

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}$且i、j和k中最多只有一個等於1。

參見

• 謝爾賓斯基三角形
• 科赫曲線

參考文獻

• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

外部連結

• 分形多面體 （VRML）和互動Java模型
• Menger sponge at Wolfram MathWorld （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. Jeannine Mosely – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• An interactive Menger sponge （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Interactive Java models
• Puzzle Hunt （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
• Menger Sponge Animations （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） — Menger sponge animations up to level 9, discussion of optimization for 3d.
• Menger sphere （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, rendered in SunFlow
• Post-It Menger Sponge （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
• The Mystery of the Menger Sponge. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Sliced diagonally to reveal stars
• Number of cards required to build a Menger sponge of level n in origami （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by two "Mathekniticians"