雨滴大小分佈

雨滴大小分佈(DSD) ，或雨的粒度測量、雨滴譜，是雨滴根據其直徑 (D) 的數量分佈。雨滴的形成需要三個過程：水蒸氣凝結、小液滴在大液滴上的積累以及不同尺寸雨滴之間的碰撞、合併。根據在雲中停留的時間、雲中的垂直運動和環境溫度，雨滴的經歷多種多樣，雨滴直徑分佈從幾微米到幾毫米不等。

定義

兩個平均實際分佈是線性斜率，可以調整為 Marshal-Palmer 方程。

佛羅里達州對流雨中不同降水率的分佈示例：雨滴數量（對數刻度）(N) 與直徑的線性刻度 (D)

通常，雨滴大小分佈是直徑為零到雨滴最大可能尺寸的截斷伽馬函數。 由此得滴數隨直徑$D$的變化公式：

$N(D)=N_{0}D^{\mu }e^{-\Lambda D}$

其中$N_{0}$, $\mu$和$\lambda$都是常數。

馬歇爾-帕爾默分佈

最著名的關於雨滴大小分佈的研究是馬歇爾和帕爾默於 1948 年在蒙特利爾的麥吉爾大學完成的。 他們使用層狀雨$\mu =0$並得出指數形式的液滴尺寸分佈，亦即Marshall-Palmer 分佈，公式為：

$N(D)_{MP}=N_{0}e^{-\Lambda D}$

其中：

• N₀ = 8000 m^-3 mm^-1;
• $\scriptstyle \Lambda$ = 4.1 R^-0.21 mm^-1 （相當於參考文獻中的 41 R^-0.21 cm^-1 ），R 是層狀降水中的降雨率，單位為毫米/小時；
• D 為雨滴直徑，單位毫米。

（N₀的單位有時被簡化為 cm^-4 ，但這消除了該值是按每立方米空氣計算的信息）

由於不同類型的降水（雨、雪、雨夾雪等），以及產生它們的不同類型的雲在時間和空間上有所不同，因此雨滴分佈函數的係數將隨各種情況變化而變化。 Marshall-Palmer 關係仍然是目前最為常用的關係，但值得一提的是，它是中緯度地區許多層狀降雨事件的平均值。上圖顯示了層狀降雨和對流降雨的平均分佈。分佈的線性部分可以通過特定的$\scriptstyle \Lambda$值來調整 Marshall-Palmer 分佈。最下是佛羅里達州幾個對流事件中具有不同降水率的一系列雨滴直徑分佈。我們可以看到，實驗曲線比平均曲線更複雜，但總體外觀是一樣的。

因此，在氣象文獻中出現了許多其他形式的分佈函數，以更精確地調整粒子大小以適應特定事件。隨着時間的推移，研究人員已經意識到，液滴的分佈更多的是根據降水類型產生不同直徑液滴的概率問題，而不是一個確定性關係。因此，層狀雨有一系列曲線族，對流雨則有另一個曲線族。

烏爾布里奇分佈

Marshall 和 Palmer 分佈使用的指數函數不能正確模擬非常小直徑的液滴（上圖中的曲線）。一些實驗表明，這些液滴的實際數量少於它們的理論曲線。Carlton W. Ulbrich 在 1983 年開發了一個更通用的公式，考慮到如果 D < 1 mm，則液滴是球形的；若液滴呈橢球形，其水平軸隨着 D 變大而變平。力學上，不可能出現超過 D = 10 mm 的大液滴，因為液滴會在直徑很大的時候破裂。從一般分佈類型來看，雨滴譜發生變化時，由於飽和條件，小水滴的蒸發可以忽略不計，雲內部的 μ = 0；而雲外的 μ = 2，小水滴將蒸發，因為它們處在更乾燥的空氣中。用與前面相同的符號標記，我們得到了毛毛雨的烏爾布里奇分佈：

$N_{0}\mathrm {(cm^{-4-\mu })} =\left[{\frac {6}{\pi (\mu +3)!}}\right]\left({\frac {M_{l}}{10^{-3}\rho _{e}}}\right)\Lambda ^{\mu +4}$$\Lambda \mathrm {(cm^{-1})} ={\frac {3.67+\mu }{D_{0}}}$

其中$M_{l}$是液態水含量， $\rho _{e}$水密度，和$\scriptstyle D_{0}\approx$ 0.2是細雨直徑的平均值。對於降雨，引入降雨率R (mm/h)，即標準表面上每小時的降雨量：

$D_{0}{(cm)}\approx 0.13R^{0.14}$，$N_{0}\mathrm {(cm^{-4-\mu })} \approx 6\times 10^{-2}\exp(3.2\times \mu )$

測量

這種分佈的第一次測量是由馬歇爾的學生帕爾默在緊接着二戰之後，用相當簡陋的工具進行的，他將一塊覆蓋有麵粉的紙板短時間暴露在雨中。每一滴留下的痕跡與其直徑成正比，他可以通過計算每一滴大小對應的痕跡數量來確定分佈。

相關學者與工程師已經開發了不同的設備來更準確地測量雨滴大小分佈：

• 測速儀
• 改進的風廓線儀

液滴尺寸與雷達反射率

對雲中雨滴分佈的了解，使得研究者得以將天氣雷達記錄的內容與地面上獲得的降水量聯繫起來。我們可以找到雷達回波的反射率與我們使用諸如測速儀之類的設備測量值之間的關係。

降雨率 (R) 的定義如下式所示，是粒子數 ( $\scriptstyle N(D)$ )、粒子體積 ( $\scriptstyle \pi D^{3}/6$ ) 及其下落速度 ( $\scriptstyle v(D)$ )對雲滴直徑的積分:

$R=\int _{0}^{Dmax}N(D)(\pi D^{3}/6)v(D)dD$

雷達反射率 Z 為：

$Z_{rain}=|K_{rain}|^{2}\int _{0}^{Dmax}N(D)D^{6}dD\qquad$

其中 K 是水的介電常數

Z 和 R 具有相似的公式，可以得到下面的表達式：

$\,Z_{rain}=aR^{b}$

其中 a 和 b 這兩個參數與降水類型如雨、雪、對流雨（雷暴）或層雲降雨（雨雲）有關，它們有不同的$\Lambda$, K, N₀和$\scriptstyle v$ 值.

這種關係中最著名的是 Marshall-Palmer ZR 關係，a = 200， b = 1.6。 目前該關係仍然是最常用的一種經驗關係，因為它適用於中緯度地區的降雨，而這是非常常見的情況。研究者對於雪、暴雨、熱帶雨等類型的降水進行研究，也發現了類似的關係。

參見

• 雲滴有效半徑
• 液態水含量