在工程中，传递函数 （英语：transfer function ，也称系统函数 [ 1] 转移函数 或网络函数 ，画出的曲线叫做传递曲线 ）是用来拟合或描述黑箱模型 （系统 ）的输入与输出之间关系的数学表示。在二维图像的应用中，输入和输出的位图 间的关系函数称作转移曲线 、转换曲线 （transfer curve ）或特征曲线 （characteristic curve ）。
通常它是零初始条件和零平衡点下，以空间或时间频率为变量表示的线性时不变系统 （LTI）的输入与输出之间的关系。[ 2] 二端口网络 中的输出电压作为输入电压的一个函数）而不使用变换到S平面 上的结果。[ 3] [ 4] [ 5]
传递函数 通常用于分析诸如单输入、单输出的滤波器 系统中，主要用在信号处理 、通信理论 、控制理论 。这个术语经常专门用于如本文所述的线性时不变系统 （LTI）。实际系统基本都有非线性 的输入输出特性，但是许多系统在标称参数范围内的运行状态非常接近于线性，所以实际应用中完全可以应用线性时不变系统理论 表示其输入输出行为。
简单说明一下，下面的描述都是以复数
s
=
σ
+
j
⋅
ω
{\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }
σ
=
0
{\displaystyle \sigma =0}
s
=
j
⋅
ω
{\displaystyle s=j\cdot \omega }
拉普拉斯变换 简化为实参
ω
{\displaystyle \omega }
傅里叶变换 。
那么，对于最简单的连续时间 输入信号
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
拉普拉斯变换
X
(
s
)
=
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}
拉普拉斯变换
Y
(
s
)
=
L
{
y
(
t
)
}
{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}
Y
(
s
)
=
H
(
s
)
X
(
s
)
{\displaystyle Y(s)=H(s)\,X(s)}
或者
H
(
s
)
=
Y
(
s
)
X
(
s
)
=
L
{
y
(
t
)
}
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}
在离散时间 系统中，应用Z变换 ，传递函数可以类似地表示成
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
{\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}}
这常常被称为脉冲传递函数。
考虑一个常系数线性微分方程
L
[
u
]
=
d
n
u
d
t
n
+
a
1
d
n
−
1
u
d
t
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
d
u
d
t
+
a
n
u
=
r
(
t
)
{\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}
其中 u 和 r 是 t 的适当的光滑函数。L 是相关函数空间上定义的，将 u 变换为 r 的算子。这种方程可以用于以强迫函数 r 为变量约束输出函数 u 。传递函数写成算子
F
[
r
]
=
u
{\displaystyle F[r]=u}
L 的右逆，因为
L
[
F
[
r
]
]
=
r
{\displaystyle L[F[r]]=r}
这个常系数齐次微分方程
L
[
u
]
=
0
{\displaystyle L[u]=0}
u
=
e
λ
t
{\displaystyle u=e^{\lambda t}}
特征多项式
p
L
(
λ
)
=
λ
n
+
a
1
λ
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
λ
+
a
n
{\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}
在输入函数 r 的形式也为
r
(
t
)
=
e
s
t
{\displaystyle r(t)=e^{st}}
u
=
H
(
s
)
e
s
t
{\displaystyle u=H(s)e^{st}}
L
[
H
(
s
)
e
s
t
]
=
e
s
t
{\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}
H
(
s
)
=
1
p
L
(
s
)
,
p
L
(
s
)
≠
0.
{\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}},\qquad p_{L}(s)\neq 0.}
把那当作传递函数 的定义需要注意区分实数和复数的差异。这是受到 abs(H(s)) 表示增益 ，而用 -atan(H(s)) 表示相位滞后 惯例的影响。传递函数的其他定义还有例如
1
/
p
L
(
i
k
)
{\displaystyle 1/p_{L}(ik)}
[ 6]
设普通线性非时变系统 的输入为
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)\ }
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)\ }
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)\ }
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)\ }
拉普拉斯变换 为
X
(
s
)
=
L
{
x
(
t
)
}
≡
∫
0
∞
x
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\equiv \int _{0}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}
Y
(
s
)
=
L
{
y
(
t
)
}
≡
∫
0
∞
y
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int _{0}^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt}
那么输出与输入之间通过传递函数
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)\ }
Y
(
s
)
=
H
(
s
)
X
(
s
)
{\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)\,}
并且传递函数为
H
(
s
)
=
Y
(
s
)
X
(
s
)
{\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}
在信号分析与处理中，通常感兴趣的系统的频率响应，这时候经常使用频响函数 来表示系统对于不同频率谐波的响应特征。频响函数通常用傅里叶变换 表示，傅里叶变换是
s
=
j
ω
{\displaystyle s=j\omega }
拉普拉斯变换 的一个特例。频响函数实际上是线性系统的稳态响应分量，只有再加上瞬态响应分量，才构成系统的全响应，即系统的传递函数。
当一个振幅 为
|
X
|
{\displaystyle |X|\ }
角频率 为
ω
{\displaystyle \omega \ }
相位 为
arg
(
X
)
{\displaystyle \arg(X)\ }
谐波 信号
x
(
t
)
=
X
e
j
ω
t
=
|
X
|
e
j
(
ω
t
+
arg
(
X
)
)
{\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}
其中
X
=
|
X
|
e
j
arg
(
X
)
{\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}
输入到线性时不变系统 的时候，那么对应的输出为：
y
(
t
)
=
Y
e
j
ω
t
=
|
Y
|
e
j
(
ω
t
+
arg
(
Y
)
)
{\displaystyle y(t)=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))}}
且
Y
=
|
Y
|
e
j
arg
(
Y
)
{\displaystyle Y=|Y|e^{j\arg(Y)}}
注意，在线性非时变系统中，谐波信号输入频率
ω
{\displaystyle \omega \ }
相位延迟 （也就是传递函数引起的与频率相关的正弦曲线延迟）为：
τ
ϕ
(
ω
)
=
−
ϕ
(
ω
)
ω
{\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}}
群延迟 （也就是传递函数引起的与频率相关的正弦曲线包络线延迟）通过计算相位延迟对于角频率
ω
{\displaystyle \omega \ }
τ
g
(
ω
)
=
−
d
ϕ
(
ω
)
d
ω
{\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}}
频率响应
H
(
j
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )}
A
(
ω
)
{\displaystyle A(\omega )}
G
(
ω
)
{\displaystyle G(\omega )}
ϕ
(
ω
)
{\displaystyle \phi (\omega )}
G
(
ω
)
=
|
Y
|
|
X
|
=
|
H
(
j
ω
)
|
{\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|\ }
ϕ
(
ω
)
=
arg
(
Y
)
−
arg
(
X
)
=
arg
(
H
(
j
ω
)
)
{\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega ))}
并可由此绘出系统的幅频特性曲线与相频特性曲线，总称波特图 。
频率响应也可以按其实部与虚部分解表示为：
H
(
j
ω
)
=
Re
(
ω
)
+
j
Im
(
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )=\operatorname {Re} (\omega )+j\operatorname {Im} (\omega )}
并由此绘出系统频率响应的奈奎斯特曲线 。
不管是使用拉普拉斯变换还是傅立叶变换，它们都将时间域上系统响应的卷积 运算转化为对应的复数域或频域上的代数（频率相乘，相位相加）运算，并且可以直观的揭示出系统对于信号频率的作用。
在控制工程 和控制理论 中，传递函数是从拉普拉斯变换 推导出来的。传递函数是经典控制工程中的一个主要工具，但是，在分析多输入多输出（MIMO）系统的时候它就显得很笨拙了，在分析这样的系统的时候大部分被状态空间 表示所代替。尽管这样，经常也可以从任意的线性系统得到传递矩阵 用于分析它的动态及其它特性：传递矩阵中的每个元素都是与特定输入和特性输出相关的一个传递函数。
在光学 中调制传递函数 描述的是光学系统传递对比度的能力，是常用的像质评价方法之一。
例如，如果一系列的黑白交替条纹以一个特定的空间频率画出来，那么当观察这些条纹的时候，图像质量可能发生退化。白色的条纹看起来变暗了，而黑色的条纹看起来变亮了。
忽略相位变化，在特定空间频率的调制传递函数称为调制传递函数 （英语：modulation transfer function ，MTF ）[ 7]
M
T
F
(
f
)
=
M
(
i
m
a
g
e
)
M
(
s
o
u
r
c
e
)
{\displaystyle \mathrm {MTF} (f)={\frac {M(\mathrm {image} )}{M(\mathrm {source} )}}}
其中调制（M）是根据下式从图像或者光源亮度中导出来的：
M
=
(
L
m
a
x
−
L
m
i
n
)
(
L
m
a
x
+
L
m
i
n
)
{\displaystyle M={\frac {(L_{\mathrm {max} }-L_{\mathrm {min} })}{(L_{\mathrm {max} }+L_{\mathrm {min} })}}}
用MTF曲线的积分 值可以评价成像质量。理论上，像点的中心亮度值等于MTF曲线的面积。而面积越大，意味着像点中包含的信息越多，成像质量也就越好。不过，MTF曲线只能反映少数点的情况。[ 7]
许多非线性成分（如张弛振荡器 ）就不存在传递函数，[ 8] 描述函数 来近似。
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Signals and systems , 2nd ed., Wiley, 2001, ISBN 978-0-471-98800-7 p. 50
^ The Oxford Dictionary of English, 3rd ed., "Transfer function"
^ M. A. Laughton; D.F. Warne. Electrical Engineer's Reference Book 16. Newnes. : 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5 ^ E. A. Parr. Logic Designer's Handbook: Circuits and Systems 2nd. Newness. 1993: 65 –66. ISBN 978-1-4832-9280-9 ^ Ian Sinclair; John Dunton. Electronic and Electrical Servicing: Consumer and Commercial Electronics . Routledge. 2007: 172 . ISBN 978-0-7506-6988-7 ^ Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo. Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. 1978. ISBN 0-471-05224-8 [页码请求 ^ 7.0 7.1 郁道银; 谈恒英. 工程光学（第4版）. 机械工业. 2016-02-01. ISBN 9787111519621 ^ Valentijn De Smedt, Georges Gielen and Wim Dehaene. Temperature- and Supply Voltage-Independent Time References for Wireless Sensor Networks. Springer. 2015: 47. ISBN 978-3-319-09003-0
![{\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1504bd7d731876d14d76c5d4746a68e98d9f12)
![{\displaystyle F[r]=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876c77d0dadd2671e078abf7c6d7532580222970)
![{\displaystyle L[F[r]]=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4513a4d4543e0afac921bb6153fd3a8b93dcf60)
![{\displaystyle L[u]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990bc74c22611d6fea8f4e1ef3d2bc1a16260f78)
![{\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bcdcfff13fb52c9dd094cbac10390cce1e50977)
